Worteltrekken

Klaas Pieter Hart

Juni 1998

Abstract:

De wortel van $2$ is het positieve getal waarvan het kwadraat gelijk is aan $2$; dat getal geven we aan met $\sqrt2$. Waar komt het wortelteken vandaan?

In het werk van Brahmagupta (zevende eeuw, India) wordt uitgelegd hoe $ru\,3\,c\,450\,c\,75\,c\,54$ door $c\,18\,c\,3$ te delen: vermenigvuldig beide met $c\,18\,c\,\dot3$, we krijgen dan $ru\,75\,c\,625$ en $ru\,15$; het quotiënt van deze getallen is $ru\,5\,c\,3$.

Kunnen we dit recept `ontcijferen'? In februari hebben we gezien dat $ru$ voor `eenheid' staat, een puntje boven een cijfer voor een minteken en dat alles wat achter elkaar staat opgeteld moet worden. Maar wat is die $c$? Wel $c\,18\,c\,3$ maal $c\,18\,c\,\dot3$ is eigenlijk $(c\,18+c\,3)(c\,18-c\,3)$ en dat is een merkwaardig product waar $(c\,18)^2-(c\,3)^2$ uit komt. Het verschil moet $15$ zijn en dat is nou net $18-3$, dus misschien staat de $c$ wel voor worteltrekken. En inderdaad, als we de $c$ zo opvatten dan luidt het recept: bereken

$${3+\sqrt{450}+\sqrt{75}+\sqrt{54}\over\sqrt{18}+\sqrt3}\times {\sqrt{18}-\sqrt3\over \sqrt{18}-\sqrt3};$$

hier komt uit:

$${75+\sqrt{625}\over15}=5+\sqrt3.$$

De $c$ van Brahmagupta is de eerste letter van caraní, hetgeen vierkantswortel betekent.

Door de eeuwen heen zijn er diverse symbolen voor wortels bedacht; de Egyptenaren gebruikten bijvoorbeeld een soort winkelhaakje: . In Europa werden in het begin letters gebruikt: de $R$, als eerste letter van radix (wortel), en de $l$, als eerste letter van latus (zijde van een vierkant). Een beetje lastig was wel dat die letters ook voor de onbekende (onze $x$) werd gebruikt; je moest dat bij het lezen maar uit de context opmaken.

De Schot John Napier (de uitvinder van de logaritmen) had wel een heel bijzondere manier om wortels aan te geven: $\sqcup$ was de gewone wortel, $\sqcup\llap{$\sqcap$}$ was de vijfdemachtswortel, en was bijvoorbeeld de vierdemachtswortel. Je kunt dit aflezen door naar de toetsen op een telefoontoestal te kijken: de $\sqcup$ zit als het ware om de $2$ heen, en de $\sqcup\llap{$\sqcap$}$ om de $5$. Deze notatie heeft het niet lang volgehouden, te meer daar het bekende $\sqrt{\vphantom2}$ steeds vaker gebruikt ging worden.

De oorspong van $\sqrt{\vphantom2}$ is, geloof het of niet, een puntje. In een aantal manuscripten van rond 1500 werd een puntje gebruikt om de wortel aan te geven; dat puntje werd een stevige stip met een staartje er aan en dat veranderde uiteindelijk in het wortelteken dat we nu kennen.

Toen het symbool $\sqrt{\vphantom2}$ eenmaal geaccepteerd was moest nog bedacht worden hoe je andere wortels aan moest geven en hoe je wortels uit grote uitdrukkingen op op moeten schrijven.

Voor bijvoorbeeld de derdemachtswortel werden diverse schrijfwijzen gehanteerd: $\sqrt{\vphantom2}C$ (C van Cubus) of $\sqrt{\vphantom2}^3$ of ${}^3\!\sqrt{\vphantom2}$ of het nu gebruikte $\sqrt[3]{\vphantom2}$. Het is helaas niet duidelijk wie voor de doorbraak van de laatste heeft gezorgd.

Van het streepje in $\sqrt{2+\sqrt2}$ weten we wel wie het als eerste gebruikt heeft: Reneé Descartes gebruikte het in zijn Géométrie:

$$\sqrt{C.{\textstyle{1\over 2}}q+\sqrt{{\textstyle{1\over 4}}qq-{\textstyle{1\over 27}}p^3}}$$

voor wat we nu als

$$\sqrt[3]{{\textstyle{1\over 2}}q+\sqrt{{\textstyle{1\over 4}}q^2-{\textstyle{1\over 27}}p^3}}$$

zouden schrijven.

In Nederland werd $\sqrt{\vphantom2}$ ook gebruikt om kwadraten aan te geven: in het tijdschrift Maandelijkse Mathematische Liefhebberije (1754-1769) kon je regelmatig $\sqrt{\vphantom2}3$ vinden voor de wortel uit $3$ en $3\sqrt{\vphantom2}$ voor het kwadraat van $3$ (er voor: worteltrekken, (er achter: kwadrateren).