Klaas Pieter Hart
Oktober, 1999
Het woord lemniscaat komt, hoe kan het anders, uit het Latijn
en wel van lemniscatus wat `versierd met linten' betekent;
en inderdaad, een lemniscaat lijkt wel een beetje op een strikje
(zonder de losse uiteinden).
Deze leniscaat is op een paar manieren te beschrijven.
De eerste manier lijkt een beetje op de definitie van een ellips,
met het woord `som' vervangen door het woord `produkt'.
Neem een getal en daarbij de punten
en
in het vlak;
de lemniscaat met brandpunten
en
is de verzameling van die punten
met
.
De lemniscaat kun je ook maken door een hyperbool in een cirkel te
spiegelen.
Spiegelen in een cirkel met middelpunt en straal
gaat als volgt:
trek vanuit
de halve lijn door je punt
, het spiegelbeeld van
ten
opzichte van de cirkel is het punt
op de halve lijn met
.
Voor onze lemniscaat nemen we de cirkel om met straal
en de
hyperbool met vergelijking
.
De hyperbool heeft een mooie parametrisering:
Het spiegelpunt van ten opzichte van de cirkel is vrij eenvoudig
te vinden: bedenk dat
een veelvoud van
moet zijn.
We vinden dan dat
de volgende coördinaten heeft:
en
.
Voor de punten op de hyperbool levert dit: