Next: Oneindig
De Lemniscaat
Klaas Pieter Hart
Oktober, 1999
Abstract:
De Lemniscaat is een kromme die lijkt op een 8 of op het
-teken.
Het woord lemniscaat komt, hoe kan het anders, uit het Latijn
en wel van lemniscatus wat `versierd met linten' betekent;
en inderdaad, een lemniscaat lijkt wel een beetje op een strikje
(zonder de losse uiteinden).
Er zijn eigenlijk diverse lemniscaten maar we bekijken hier alleen
de lemniscaat van Bernoulli, zogenoemd omdat Jakob Bernoulli in 1694
de vergelijk ervan afleidde.
Deze leniscaat is op een paar manieren te beschrijven.
De eerste manier lijkt een beetje op de definitie van een ellips,
met het woord `som' vervangen door het woord `produkt'.
Neem een getal en daarbij de punten
en
in het vlak;
de lemniscaat met brandpunten en
is de verzameling van die punten met
.
Als je dit netjes uitwerkt krijg je de volgende vergelijking voor
onze lemniscaat
je zult zien waarom de factor
ingevoerd is.
Hiermee is de lemniscaat echter nog niet zo makkelijk te tekenen;
dat gaat makkelijker als je een parametrisering kunt vinden.
Denk aan de cirkel om met straal : een vergelijking is
, een parametrisering is
Een computerprogramma kan door voor een heleboel waarden van een
punt te plotten de suggestie van een cirkel op je scherm wekken.
De lemniscaat kun je ook maken door een hyperbool in een cirkel te
spiegelen.
Spiegelen in een cirkel met middelpunt en straal gaat als volgt:
trek vanuit de halve lijn door je punt , het spiegelbeeld van ten
opzichte van de cirkel is het punt op de halve lijn met
.
Voor onze lemniscaat nemen we de cirkel om met straal en de
hyperbool met vergelijking .
De hyperbool heeft een mooie parametrisering:
dit kun je verifiëren door invullen in de vergelijking.
Het spiegelpunt van ten opzichte van de cirkel is vrij eenvoudig
te vinden: bedenk dat een veelvoud van moet zijn.
We vinden dan dat de volgende coördinaten heeft:
en
.
Voor de punten op de hyperbool levert dit:
Hiermee is het plotten van de lemniscaat niet zo moeilijk meer.
Je kunt in de eerste definitie van de lemniscaat natuurlijk gaan variëren
en kijken wat er gebeurt als je eist dat
met
willekeurig (maar vast).
Je krijgt dan zogenaamde ovalen van Cassini.
Als dan is deze nog convex,
voor
heeft de kromme twee deuken en als
dan krijg je twee losse ovaaltjes.
Op de atlas-van-alle-krommen kun je daar meer over lezen.
Next: Oneindig
KP Hart
2006-04-06