De Cardioïde

Klaas Pieter Hart

Februari, 2000

Abstract:

Een tip voor een wiskundige Valentijnsdagkaart: $r=1-\sin\phi$ ( $0\le\phi\le2\pi$).

Een tip voor Valentijnsdag: stuur je (geheime) geliefde een kaart met daarop de vergelijking

$$r=1-\sin\varphi \qquad(0\le\varphi\le2\pi),$$

of, wat op hetzelfde neerkomt:

$$(x^2+y^2+y)^2=x^2+y^2.$$

Als je geliefde een beetje van vlakke krommen weet dan weet hij/zij meteen wat hier staat.

Voor wie dat nog niet ziet gaan we proberen de kromme die achter deze vergelijkingen steekt te tekenen. Om te beginnen moeten we even uitleggen wat de $r$ en de $\varphi$ in de eerste eigenlijk voorstellen. Welnu, $r$ en $\varphi$ zijn de poolcoördinaten van een punt in het platte vlak. Poolcoördinaten vormen een andere manier dan de gewone $xy$-coördinaten om punten in het vlak vast te leggen.

$$\includegraphics{cardioide-1}$$

We kunnen een punt in het vlak namelijk ook vastleggen door zijn afstand $r$ tot de oorsprong en de hoek $\varphi$ die zijn plaatsvector met de positieve $x$-as maakt. Het verband met de gewone coördinaten is vrij eenvoudig:

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot\mathsurround0pt \ialign... ... \crcr x&=r\cos\varphi\cr y&=r\sin\varphi\cr\crcr}}\,\right.$$

Nu gaan we onze kromme tekenen: een punt ligt dus op de kromme als zijn poolcoördinaten aan bovenstaande vergelijking voldoen. Als we dus voor een flink aantal waarden van $\varphi$ de bijbehorende $r$ uitrekenen dan kunnen we een idee krijgen hoe de kromme er uit ziet.

$$\includegraphics{cardioide-2}$$

Verbind de punten maar met een vloeiende lijn en je krijgt een plaatje van de cardioïde, een kromme die verdacht veel op een hart lijkt.