Rollende cirkels

Cardioïden komen heel vaak voor; we geven twee voorbeelden. Neem twee cirkels met diameter $1$ en leg ze zó neer dat ze de $x$-as in de oorsprong raken -- de een van onderen de ander van boven.

$$\includegraphics{cardioide-3}$$

Laat nu de bovenste cirkel (zonder slippen) langs de onderste cirkel rollen; het punt dat in het begin in de oorsprong lag beschrijft nu precies onze cardioïde.

$$\includegraphics{cardioide-7}$$

In het plaatje is de bovenste cirkel over een hoek van $t$ gedraaid; met middelpunt ligt nu in $m_t$ en het punt dat in de oorsprong begon ligt nu in $z_t$. Je kunt nu uitrekenen dat

$$\null\,\vcenter{\openup\jot\mathsurround0pt \ialign{\strut... ...),\sin(t+\frac12\pi)\bigr)\cr &= (-\sin t,\cos t)\cr\crcr}}\,$$

(in het plaatje is $t$ negatief, we gaan immers met de klok mee) en dat

$$\null\,\vcenter{\openup\jot\mathsurround0pt \ialign{\strut... ...rac12\pi)\bigr)\cr &= \frac12(\sin 2t, -\cos 2t).\cr\crcr}}\,$$

Nu kunnen we de coördinaten van $z_t=(x_t,y_t)$ uitrekenen:

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot\mathsurround0pt \ialign... ...os t -1)\sin t\cr y_t&=-(\cos t-1)\cos t.\cr\crcr}}\, \right.$$

Je kunt controleren of dit punt op de cardioïde ligt door deze waarden in de $xy$-vergelijking in te vullen. Hieronder zie je $z_t$ voor een aantal waarden van $t$.

$$\includegraphics{cardioide-5}$$