De Cycloïde

Klaas Pieter Hart

April, 2000

Abstract:

De snelste afdaling en regelmatige slingeruurwerken; allemaal mogelijk door één kromme: de cycloïde.

In ???? daagde Johan Bernoulli de geleerden op de hele wereld uit het volgende probleem op te lossen: gegeven twee punten aan de muur de kromme te vinden waarlangs een wrijvingsloos object zo snel mogelijk van het ene naar het andere zou glijden -- hij noemde die kromme de brachistochroon, van brachos (kort) en chronos (tijd).

Toen hij een tijdje later de oplossing publiceerde schreef hij, nadat hij eerst had opgeschept hoe slim hij wel niet was geweest: Geachte lezer, U zult stomverbaasd zijn te leren dat deze kromme, de brachistochroon, niets anders is dan de tautochroon van Huygens!

Wat was er aan de hand? Een aantal jaren eerder, in ????, had Christiaan Huygens onderzocht hoe je een slingeruurwerk regelmatig kon laten lopen. In tegenstelling tot wat je misschien zou denken is bij een gewone slinger -- een gewicht aan een touwtje dat aan een vast punt hangt -- de slingertijd afhankelijk van de uitwijking. Bij grotere uitwijking wordt de slingertijd ook groter en dat is niet zo handig als je een slingeruurwerk wilt maken: je kunt er niet zeker van zijn dat je de slinger altijd dezelfde uitwijking geeft. Huygens ontdekte dat als je het gewicht van een slinger niet langs een cirkel maar langs een cycloïde kon leiden je je de slingertijd onafhankelijk van de uitwijking werd. Hierom heet de cycloïde ook wel de tautochroon, van tautos (gelijk) en chronos (tijd).

Die cycloïde (wielkromme) was een in die tijd al bekende kromme, je krijgt hem door een cirkel (zonder slippen) over een lijn te laten rollen en dan de baan van één punt te volgen.

$$\includegraphics{cycloide-1.eps}$$

Uit bovenstaande figuur blijkt dat je die kromme als volgt kunt parametrizeren:

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot\mathsurround0pt \ialig... ...il \crcr x&=rt-r\sin t \cr y&=r-r\cos t ,\cr\crcr}}\,\right.$$

waarbij $r$ de straal van de rollende cirkel is. Als je deze kromme nu ondersteboven hangt dan krijg je de eigenlijke tautochrone kromme:

$$\includegraphics{cycloide-2.eps}$$

Het kan niet schelen hoe hoog (of laag) je begint: het duurt altijd even lang om (wrijvingsloos) naar het laagste punt te glijden. Huygens ontdekte ook hoe je het gewicht langs een cycloïde kunt laten bewegen: neem twee evengrote cycloïden, hang ze naast elkaar en hang in hun ontmoetingspunt een gewicht aan een touw dat half zo lang is als de cycloïden zelf; omdat het touw door de cycloïden in zijn beweging wordt beperkt gaat het gewicht een derde (weer even grote) cycloïde beschrijven.

$$\includegraphics{cycloide-3.eps}$$

In diverse wetenschapsmusea kun je zien dat een cycloïde een veel efficiëntere glijbaan oplevert dan bijvoorbeeld een rechte lijn: van twee kogeltjes die tegelijk worden losgelaten is het kogeltje langs de rechte goot merkbaar langer onderweg. Als we voor het gemak het beginpunt in de oorsprong leggen en het eindpunt $A$ ergens in het vierde kwadrant dan zien we dat er precies één straal $r$ is zó dat de bijpassende cycloïde door $A$ gaat.

$$\includegraphics{cycloide-4.eps}$$

De verrassende conclusie is dat de optimale baan soms even lager dan het eindpunt loopt; de snelheid die je daarmee wint compenseert blijkbaar het verlies tijdens het omhoggaan.

Johann Bernoulli was niet de enige die zijn probleem oploste, vele anderen, onder wie zijn broer Jakob en Isaac Newton slaagden er in de brachistochroon te beschrijven.