Sinus en cosinus

Klaas Pieter Hart

Abstract:

Voor kleine hoeken kun je de waarden van sinus en cosinus makkelijk schatten; we zullen zien hoe dat gaat en wanneer je die schattingen mooi kunt gebruiken.

Een tijdje geleden gaf iemand mij de volgende opgave: je boort een kaarsrechte tunnel van Amsterdam naar Groningen; hoe diep ligt die tunnel dan in het midden onder de grond? We zoeken dus de lengte van het lijnstukje $x$ in het onderstaande plaatje

$$\hbox{\includegraphics{april.1}}$$

Met een beetje goniometrie kun je zo een formule voor $x$ opstellen: de afstand Amsterdam-Groningen (het boogje) is $d=146911\,\mathrm{m}$, de straal van de aarde is $R=6378388\,\mathrm{m}$; de hoek $\alpha$ is dus $\frac {d}{2R}=0.0114379\,\mathrm{rad}$. We kunnen uit het plaatje dan zo aflezen dat $x=R-R\cos\alpha$.

Nu had ik geen rekenmachientje bij me, maar toch kon ik de vraag goed genoeg oplossen. De hoek $\alpha$ is nogal klein en dan geldt $\cos\alpha\approx1-\textstyle\frac 12\alpha^2$; we vinden dus

$$x\approx R\cdot\textstyle\frac 12\alpha^2=\textstyle\frac {d^2}{8R}=417.23\,\mathrm{m}.$$