De harmonische reeks

Klaas Pieter Hart

Abstract:

Een slak op een stuk elastiek en een brug van speelkaarten geven aanleiding tot bespiegelingen over de harmonische reeks $1+\frac12+\frac13+\cdots$.

In een weiland staat een paard met een stuk elastiek vastgebonden aan een paal; op de paal zit een slak. Op een avond als het paard net is gaan slapen, op tien meter van de paal, kruipt de slak een centimeter naar het paard toe. De volgende dag loopt het paard al grazend tien meter bij de paal vandaan, 's nachts kruipt de slak weer een centimeter in de richting van het paard. Dit gaat zo door, overdag rekt het paard het elastiek tien meter uit en 's nachts kruipt de slak hem een centimeter achterna.

Kunnen we iets zeggen over de afstand die de slak uiteindelijk aflegt? Hierbij nemen we aan dat het elastiek nooit breekt en dat het paard sterk genoeg is om het elastiek op te blijven rekken. In theorie kan de slak dat net zo ver komen als hij maar wil: zijn eerste centimeter wordt met het elastiek al willekeurig ver opgerekt. Om die centimeter tot een meter op te trekken hoeft het paard maar een kilometer ver te lopen, elke extra centimeter die de slak door de nacht verder kruipt is alleen maar meegenomen.

We maken de vraag wat lastiger. Welk gedeelte van het elastiek kan de slak overbruggen? De eerste centimeter is $0.001$ van het elastiek; laten we die fractie even met $a$ aangeven. Die eerste centimeter blijft $a$ van het elastiek uitmaken; het elastiek rekt immers overal evenveel uit. De tweede centimeter levert $\frac12a$: één centimeter op twintig meter. De derde centimeter levert $\frac13a$: één centimeter op dertig meter. Kort en: de centimeter die de slak op de $n$-de dag in de richting van het paard kruipt brengt hem $\frac1na$ verder het elastiek op.

We kunnen dus een formule opstellen voor de relatieve voortgang van de slak: na nacht $n$ heeft hij

$$(1+{\textstyle\frac{1}{2}}+{\textstyle\frac{1}{3}}+\cdots+{\textstyle\frac{1}{n}})a$$

van het elastiek achter zich. Na tien nachten is dat bijvoorbeeld $\frac{7381}{2520}a=0.002928968254$.

Opgave. Hoe ver is de slak na honderd nachten? Na duizend nachten?