$\frac16\pi^2$
Klaas Pieter Hart
Pythagoras: April, 2002
Oneindig veel getallen optellen
Het is niet mogelijk oneindig veel getallen echt bij elkaar op te tellen,
daar hebben we immers de tijd niet voor.
Toch is het in veel gevallen duidelijk wat de uitkomst van zo'n oneindige som
moet zijn. Iedereen beseft bijvoorbeeld dat
$\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\cdots=1$.
Archimedes kwam bij bepaalde oppervlakteberekeningen uit op
$1+\frac14+\frac1{4^2}+\cdots$
en hij beredeneerde dat hier
$\frac43$
uit de som moest komen.
De Grieken hadden dus geen moeite met het bepalen van de som van een
meetkundige rij.
Maar het duurde nog een hele tijd voor wiskundigen de som van ingewikkeldere
oneindige rijen wisten te bepalen.
Dat gebeurde aan het eind van de zeventiende eeuw,
de gebroeders Bernoulli namen daarbij het voortouw.
Ze (her)ontdekten bijvoorbeeld iets dat Nicole Oresme al in 1360 had
vastgesteld, namelijk
$$
1+\frac12+\frac13+\cdots=\infty.
$$
In de Pythagoras van juni 2001 is een artikel gewijd aan deze oneindige som,
die bekend staat als de harmonische reeks.
Daar wordt verteld waarom de som van deze rij oneindig groot is.
De Bernoulli's hadden een andere fraaie manier om dit in te zien.
Zij redeneerden als volgt.
Als je voor een vaste $n$ de som $\frac1{n+1}+\cdots\frac1{n^2}$
bekijkt dan zie je $n^2-n$ termen die (op één na) groter zijn
dan $\frac1{n^2}$, de som is dus groter dan $1-\frac1n$.
Maar dan geldt $\frac1n+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{n^2}>1$.
Hiermee kun je dan inzien dat de partiële sommen
$H_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n$
inderdaad boven elk getal uitstijgen.
Opgave.
Hoe groot moet je $n$ nemen opdat $H_n>100$?
Een weerbarstige som
De Bernoulli's hadden meer moeite met de som
$$
\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}+\cdots.
\eqno(*)
$$
Ze wisten wel dat daar een getal uit moest komen (en niet $\infty$)
maar ze hadden geen idee wat dat getal moest zijn.
Het duurde tot ongeveer 1730 voor Leonhard Euler de uitkomst
bepaalde.
We gaan eerst kijken hoe de Bernoulli's wisten dat de som een
eindig getal moest zijn.
Daartoe korten we de partiële sommen even af: schrijf
$$
P_n=\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}.
$$
Figuur X geeft de eerste twintig partiële sommen, daar is op zich weinig uit af te leiden.
Opgave.
Kun je aan de getallen in de tabel zien wat de waarde van $(*)$ zou moeten
zijn?
Laat je rekenmachine nog wat aantal waarden van $P_n$ uitrekenen,
bijvoorbeeld $P_{1000}$ of $P_{10000}$.
Geeft dit een beter idee?
Het gedrag van de $P_n$
De Bernoulli's bedachten het volgende trucje om iets zinnigs over de
getallen $P_n$ te kunnen zeggen.
Eerst merkten ze op dat
$k^2>k(k-1)$ voor elke $k\ge2$ en daarmee ook
$$
\frac1{k^2}<\frac1{(k-1)k}.
$$
Verder kun je schrijven:
$$
\frac1{(k-1)k}=\frac1{k-1}-\frac1k,
$$
reken maar na.
Hieruit volgt dat
$\frac14<1-\frac12$, dat $\frac19<\frac12-\frac13$,
dat $\frac1{16}<\frac13-\frac14$ en, voor willekeurige $k$,
$$
\frac1{k^2}<\frac1{k-1}-\frac1k.
$$
Hiermee zie je bijvoorbeeld dat $P_4$ kleiner is dan
$$
1+(1-\frac 12)+(\frac 12-\frac 13)+(\frac 13-\frac 14),
$$
als we hierin de haakjes wat anders zetten krijgen we
$$
1+1+(\frac 12-\frac 12)+(\frac 13-\frac 13)-\frac 14=2-\frac14.
$$
In het algemeen vind je op dezelfde manier dat
$$
P_n < 1+(1-\frac 12)
+(\frac12-\frac13)
+\cdots+(\frac 1{n-1}-\frac 1n)
=2-\frac 1n.
$$
Conclusie: $P_1 < P_2 < P_3 < \cdots < P_n < \cdots < 2$.
Hieruit trokken de Bernoulli's de conclusie dat in elk geval
$\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}+\cdots\le2$.
Als je je rekenmachine hebt laten werken heb je inmiddels gezien
dat de som waarschijnlijk ergens tussen $1{,}6$ en $1{,}7$
ligt.
De ondekking van Euler
We gaan nu zien hoe Leonhard Euler rond 1730 ontdekte dat de waarde die de
Bernoulli's zochten gelijk moest zijn aan $\frac16\pi^2$,
met andere woorden dat
$$
\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}+\cdots
=\frac{\pi^2}6.
$$
Dat zal niet makkelijk zijn maar wie mee durft te gaan voorbij de drie rondjes
krijgt een van de mooiste redeneringen uit de wiskunde te zien.
In die redenering gebruikte Euler twee ingrediënten.
Het eerste was een ontdekking van Newton: je kunt
$\sin x$ als een oneindig lang polynoom (in het Nederlands: veelterm) schrijven;
het tweede ontdekte hij zelf: je kunt $\sin x$ als een oneindig
lang product schrijven.
De formule van Newton
Isaac Newton had ontdekt dat je $\sin x$ als een oneindig lang polynoom kunt
schrijven:
$$
\sin x=x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5+\cdots
$$
In een
later nummer van Pythagoras zullen we zien hoe je die formule
voor $\sin x$" kunt vinden; deze keer gaan we hem gewoon gebruiken.
De aanpak van Euler
Euler begon met de formule van Newton en deelde deze links en rechts
door $x$:
$$
\frac{\sin x}x
=1-\frac16x^2+\frac1{120}x^4+\cdots
$$
\end{displaymath}
Om de latere formules wat mooier uit laten komen verving hij
$x$
door
$\pi x$:
$$
\frac{\sin\pi x}{\pi x}
=1-\frac{\pi^2}6x^2+\frac{\pi^4}{120}x^4+\cdots
$$
Nu had hij een oneindig lang polynoom $p(x)$ met de volgende
eigenschappen: als je (rechts)
$0$ invult krijg je $1$ en als je (links) $1$, $-1$, $2$, $-2$, $3$, $-3$,
$\ldots$ invult krijg je telkens $0$.
Dergelijke eisen leggen een polynoom helemaal vast en Euler wist
nog een manier om een polynoom te maken dat aan die eisen voldoet.
In het eenvoudige geval dat je $q(0)=1$" wilt en $q(1)=q(-1)=q(2)=q(-2)=0$
doet de volgende formule precies wat je wilt:
$$
q(x)=\left(1-\frac x1\right)\left(1-\frac x{-1}\right)
\left(1-\frac x2\right)\left(1-\frac x{-2}\right).
$$
Als je dit uitwerkt krijg je
$$
q(x) = \left(1-\frac{x^2}{1^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2}\right)
= 1-\left(\frac1{1^2}+\frac1{2^2}\right)x^2+\frac{x^4}4.
$$
Merk op dat tussen de haakjes voor de $x^2$ precies $P_2$ staat.
Als je meer nulpunten wilt, zeg $1$, $-1$, $2$, $-2$, $\ldots$, $n$, $-n$,
en nog steeds $q(0)=1$ dan kom we vanzelf uit op
$$
\left(1-\frac{x^2}{1^2}\right)
\left(1-\frac{x^2}{2^2}\right)\cdots
\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right);
$$
dat uitwerken brengt ons op
$$
1-\left(\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{n^2}\right)x^2+\cdots
$$
en dat is nu net
$$
1-P_nx^2+\cdots
$$
Euler nam nu de sprong naar het oneindige:
$p(x)$ is een oneindig lang polynoom met
$p(0)=1$ en $1$, $-1$, $2$, $-2$, $\ldots$ als nulpunten.
Dan is het blijkbaar ook te schrijven als een oneindig lang product:
$$
p(x)=\left(1-\frac{x^2}{1^2}\right)
\left(1-\frac{x^2}{2^2}\right)\cdots
\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)\cdots
$$
Als we dat uitvermenigvuldigen krijgen we
$$
p(x)=1-
\left(\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}+\cdots\right)x^2
+\cdots
$$
maar we hadden al
$$
p(x)=1-\frac{\pi^2}6x^2+\cdots
$$
en hier lezen we meteen onze gewenste formule uit af.
K_dot_P_dot_Hart_at_TUDelft_dot_nl
Last modified: Monday 15-04-2013 at 15:38:16 (CEST)