Oneindig veel getallen optellen

Het is niet mogelijk oneindig veel getallen echt bij elkaar op te tellen, daar hebben we immers de tijd niet voor. Toch is het in veel gevallen duidelijk wat de uitkomst van zo'n oneindige som moet zijn. Iedereen beseft bijvoorbeeld dat $\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\cdots=1$. Archimedes kwam bij bepaalde oppervlakteberekeningen uit op $1+\frac14+\frac1{4^2}+\cdots$ en hij beredeneerde dat hier $\frac43$ uit de som moest komen. De Grieken hadden dus geen moeite met het bepalen van de som van een meetkundige rij. Maar het duurde nog een hele tijd voor wiskundigen de som van ingewikkeldere oneindige rijen wisten te bepalen. Dat gebeurde aan het eind van de zeventiende eeuw, de gebroeders Bernoulli namen daarbij het voortouw. Ze (her)ontdekten bijvoorbeeld iets dat Nicole Oresme al in 1360 had vastgesteld, namelijk

$$1+\frac12+\frac13+\cdots=\infty.$$

In de Pythagoras van juni 2001 is een artikel gewijd aan deze oneindige som, die bekend staat als de harmonische reeks. Daar wordt verteld waarom de som van deze rij oneindig groot is. De Bernoulli's hadden een andere fraaie manier om dit in te zien. Zij redeneerden als volgt. Als je voor een vaste $n$ de som $\frac1{n+1}+\cdots\frac1{n^2}$ bekijkt dan zie je $n^2-n$ termen die (op één na) groter zijn dan $\frac1{n^2}$, de som is dus groter dan $1-\frac1n$. Maar dan geldt $\frac1n+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{n^2}>1$. Hiermee kun je dan inzien dat de partiële sommen $H_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n$ inderdaad boven elk getal uitstijgen.

Opgave. Hoe groot moet je $n$ nemen opdat $H_n>100$?