Analyse volgens Newton

Klaas Pieter Hart

Abstract:

In dit artikel bekijken we hoe Isaac Newton uitdrukkingen voor de logaritme en de exponentiële functie maakte.

In 1669 schreef Isaac Newton (1642-1727) een artikel met de naam 'De Analysi Per Æquationes Numero Terminorum Infinitas' (Van Analyse Van Vergelijkingen Met Oneindig Veel Termen). De eerste pagina hiervan is hiernaast afgebeeld. Hierin legde hij uit hoe je de oppervlakte onder bepaalde krommen kunt uitrekenen.

Newton schreef $AB=x$ en $BD=y$ en deed meteen zijn eerste bewering:

Regel I. Zij $y=ax\sp{m/n}$; dan is $\mathop{\mathrm{Opp}} ABD={\textstyle\frac{an}{m+n}}x\sp{(m+n)/n}$.

Na de regel volgen wat voorbeelden; we houden de notatie van Newton aan, met de haakjes die hij ter verduidelijking gebruikte.

Als $x^2 \ (=1x\sp\frac21) \ =y$, dus met $a=1=n$ en $m=2$, dan geldt $\frac13 x\sp3=ABD$.

Als $4\sqrt x \ (=4x\sp\frac12) \ =y$, dan $\frac83x\sp\frac32 \ (=\frac83\sqrt[2]{x\sp3}) \ = ABD$.

Als $\frac1{x\sp2} \ (=x\sp{-2}) \ =y$, dus met $a=1=n$ en $m=-2$, dan geldt $(\frac1{-1}x\sp\frac{-1}1=) \ -x\sp{-1} \ (=\frac{-1}x) \ =\alpha BD$. Newton legde uit dat het minteken verscheen omdat we de oppervlakte aan de andere kant van de lijn $BD$ krijgen en die moeten we negatief rekenen.

Het laatste voorbeeld was de hyperbool met vergelijking $\frac1x \ (=x\sp{-1}) \ =y$. Hier kreeg Newton de uitkomst ' ${\textstyle\frac{1}{0}}x\sp{0/1}={\textstyle\frac{1}{0}}x\sp0={\textstyle\frac{0}{1}}\times1={\textstyle\frac{0}{1}}={}$een oneindige hoeveelheid; zoals de oppervlakte onder de hyperbool is, aan beide zijden van de lijn $BD$'.

Newton schoof daarom de hyperbool één eenheid naar links zodat hij de grafiek van $y={\textstyle\frac{1}{1+x}}$ kreeg.

Maar hij had nog steeds een probleem: de formule uit Regel I was nog niet toepasbaar. Maar met een staartdeling kon hij $\frac1{1+x}$ omwerken tot iets bruikbaars:

$$\vcenter{\offinterlineskip \halign{$ ...$$

Met $\mathrm{\&c}$ gaf Newton aan dat deze staartdeling oneindig lang door zal blijven gaan en ook dat het patroon $(-1)^nx^n$ zich in het quotiënt zal blijven herhalen.

Dit verklaart ook de titel van Newtons artikel: de hyperbool $y=\frac1{1+x}$ wordt nu door een vergelijking met oneindig veel termen beschreven.

$$y=1-x+x^2-x^3 \phantom{+}\mathrm{\&c}.$$

Hiermee kon Newton Regel I weer toepassen (en de optelregel voor oppervlakten natuurlijk); de oppervlakte onder de hyperbool wordt dan

$$\mathop{\mathrm{Opp}} ABD =x-{\textstyle\frac{1}{2}}x\sp2+{\... ...{3}}x\sp3-{\textstyle\frac{1}{4}}x\sp4\phantom{+}\mathrm{\&c}.$$

Volgens Newton: 'Het is dan wel een oneindige som, maar toch zo dat een paar termen al een resultaat geven dat in de praktijk exact genoeg is.'

Dus het klassieke probleem - 'Vind de oppervlakte van een gebied begrensd door een hyperbool' - leidt tot een vergelijking met oneindig veel termen. De oppervlakte van $ABD$ kan ook met behulp van de natuurlijke logaritme beschreven worden: er geldt namelijk $\mathop{\mathrm{Opp}}ABD=\ln(1+x)$. Newtons formule vertelt ons dus dat

$$\ln(1+x)=x-{\textstyle\frac{1}{2}}x\sp2+{\textstyle\frac{1}{3}}x\sp3-{\textstyle\frac{1}{4}}x\sp4\phantom{+}\mathrm{\&c}$$

waarbij de som van de eerste paar termen al een goede benadering zou moeten geven.

Opgave 1. Onderzoek hoe goed de benadering met vier termen van $\ln(1+x)$ is. Laat je rekenmachine de waarden voor wat $x$-en uitrekenen of laat de grafieken plotten.

(NB. De manier waarop rekenmachientjes logaritmen benaderen, is voor een groot deel op deze formule gebaseerd.)