% Time-stamp: <20070814-vierkant.tex: Saturday 18-08-2007 at 14:15:02 (cest)>
\documentclass{beamer}

\newcommand{\Int}{\operatorname{int}}
\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}
\DeclareMathSymbol\restr{2}{AMSa}{"16}
\DeclareMathSymbol\le{3}{AMSa}{"36}
\DeclareMathSymbol\ge{3}{AMSa}{"3E}
\newcommand{\1}{\mathfrak{1}}
\usepackage[metapost]{mfpic}


\mode<presentation>
{
  \usetheme{Delft}
}



\title{Het belang van $\le$}

\subtitle{Non impeditus ab ulla scientia}

\author{K. P. Hart}

\institute
{Faculteit EWI\\ TU Delft}

\date{Lunteren, 14 Augustus, 2007}

\subject{Ongelijkheden}

\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Overzicht}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
  \end{frame}
}

% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

%\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}


\begin{document}
\opengraphsfile{plaatjes}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Overzicht}
  \tableofcontents
  % You might wish to add the option [pausesections]
\end{frame}


\section{Vragen}

\subsection{Maximaliseren/minimaliseren}

\begin{frame}

\frametitle{Maximaliseren/minimaliseren}

\begin{itemize}
\item Welke van alle rechthoeken met omtrek $100$ heeft de grootste 
      oppervlakte en waarom?
\pause
\item Welke van alle rechthoeken met oppervlakte $100$ heeft de kleinste 
      omtrek en waarom?
\end{itemize}

\end{frame}


\begin{frame}

\frametitle{Maximaliseren/minimaliseren}

\begin{itemize}
\item Welke van alle rechthoekige blokken met oppervlakte $216$ heeft het 
      grootste volume en waarom?
\pause
\item Welke van alle rechthoekige blokken met volume $216$ heeft de kleinste
      oppervlakte en waarom?
\pause
\item Welke van alle driehoeken met omtrek $30$ heeft de grootste oppervlakte
      en waarom?
\end{itemize}

\end{frame}

\subsection{Gemiddelden}


\begin{frame}

\frametitle{Gemiddelden}

\begin{itemize}
\item Je hebt twee weerstanden van $2$ en $3$ Ohm in serie geschakeld;
      wat is de gemiddelde weerstand?
\pause
\item Je hebt twee weerstanden van $2$ en $3$ Ohm in parallel geschakeld;
      wat is de gemiddelde weerstand?
\pause
\item Je hebt een rechthoek van $2\times3$; wat is de gemiddelde lengte
      van de zijden?
\end{itemize}

\end{frame}

\subsection{Twee rijen}

\begin{frame}

\frametitle{Twee rijen}

\begin{itemize}
\item Wat kun je zeggen over het gedrag van de getallenrij
      $1$, $\sqrt2$, $\sqrt[3]3$, $\sqrt[4]4$, \dots, $\sqrt[n]n$, \dots?
\pause
\item Hoe zit het met 
      $1$, $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{6}$, $\sqrt[4]{24}$, \dots, $\sqrt[n]{n!}$, 
      \dots?
\end{itemize}

\end{frame}

\section{Antwoorden}

\subsection{Maximaliseren/minimaliseren}

\begin{frame}

\frametitle{Vaste omtrek ($a+b+a+b=100$)}

Neem een rechthoek met omtrek \alert{$100$} en zijden $a$ en $b$.\pause
$$
\hbox{\begin{mfpic}[30]{0}{4}{-0.3}{2.3}
  \lines{(0,0),(4,0),(4,2),(0,2),(0,0)}
  \tlabel[cr](-0.1,1){$b$}
  \tlabel[tc](2,-0.1){$a$}  
  \tlabel[cl](4.1,1){$b$}  
  \tlabel[bc](2,2.1){$a$}  
  \end{mfpic}}
$$\pause
Dan geldt $a+b=\pause\alert{50}$.

\pause
En $ab=\pause\ldots$?

\pause
Beter: $ab\le\pause\ldots\pause\llap{\alert{$625$}}$ \pause want \dots

\end{frame}

\begin{frame}

\frametitle{Vaste omtrek ($a+b+a+b=100$)}

\dots{} midden tussen $a$ en $b$ ligt \alert{$25$} 
\pause
$$
\hbox{\begin{mfpic}[30]{0}{6}{-0.5}{1}
      \lines{(0,0),(6,0)}
      \lines{(0,0),(0,0.1)}
      \lines{(3,0),(3,0.1)}
      \lines{(6,0),(6,0.1)}
      \tlabel[bc](0,0.2){$b$}
      \tlabel[bc](1.5,0.2){$x$}
      \tlabel[bc](3,0.2){\alert{$25$}}
      \tlabel[bc](4.5,0.2){$x$}
      \tlabel[bc](6,0.2){$a$}
      \end{mfpic}}
$$
\pause
Dus: $a=\alert{25}+x$ en $b=\alert{25}-x$ en daarmee \dots


\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Vaste omtrek ($a+b+a+b=100$)}

\dots{} vinden we $ab\pause=(\alert{25}+x)(\alert{25}-x)\pause=\alert{625}-x^2
           \pause\le\alert{625}$

\pause
\begin{description}
\item[Conclusie 1:] altijd geldt $ab\le\alert{625}$

\pause
\item[Conclusie 2:] all\'e\'en als $a=b=\alert{25}$
             geldt $ab=\alert{625}$
\end{description}
Dus: van alle rechthoeken met omtrek \alert{$100$} heeft het
\alert{vierkant} van $\alert{25}\times\alert{25}$ de maximale oppervlakte.
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Omtrek $L$}

Bij omtrek \alert{$L$} krijgen we niet \alert{$25$} maar \pause
\alert{$\frac14L$}.

\pause
Dus voor de oppervlakte $O$ geldt $O\le\pause\alert{\frac1{16}L^2}$.

\pause
Dit is de \emph{Isoperimetrische Ongelijkheid} voor rechthoeken;

\pause
gelijkheid geldt all\'e\'en voor vierkanten.

\bigskip
Iso = gelijk en perimeter = omtrek
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Vaste oppervlakte $O=100$} 

De Isoperimetrische Ongelijkheid, $\alert{O}\le\frac1{16}L^2$, beantwoordt 
meteen de tweede vraag.

\pause
Immers: $O=100$, dus $L^2\ge1600$, of $L\ge\pause 40$

\pause
met gelijkheid all\'e\'en voor een vierkant van $10\times10$.

 
\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Nog een ongelijkheid}

Bekijk dit plaatje nog eens
$$
\hbox{\begin{mfpic}[30]{0}{6}{-0.5}{1}
      \lines{(0,0),(6,0)}
      \lines{(0,0),(0,0.1)}
      \lines{(3,0),(3,0.1)}
      \lines{(6,0),(6,0.1)}
      \tlabel[bc](0,0.2){$b$}
      \tlabel[tc](1.5,-0.1){$\frac12(a-b)$}
      \tlabel[bc](3,0.2){\alert{$\frac12(a+b)$}}
      \tlabel[tc](4.5,-0.1){$\frac12(a-b)$}
      \tlabel[bc](6,0.2){$a$}
      \end{mfpic}}
$$\pause
Denk aan de \alert{$25$} en de $x$.\pause
$$
\hbox{$a=\alert{\frac12(a+b})+\frac12(a-b)$ 
       en $b=\alert{\frac12(a+b)}-\frac12(a-b)$}
$$\pause
en dus \dots

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Nog een ongelijkheid}

\dots{} kunnen we $ab$ schrijven als verschil van kwadraten:\pause
$$
ab=\alert{\left(\frac{a+b}2\right)^2} - \left(\frac{a-b}2\right)^2
$$ \pause
en dus\pause
$$
ab\le\alert{\left(\frac{a+b}2\right)^2}
$$ \pause
en er geldt all\'e\'en gelijkheid als $a=b$ 
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Nog een ongelijkheid}

We schrijven ook wel
$$
\sqrt{ab\strut}\le\alert{\frac{a+b}2}
$$ 
met gelijkheid all\'e\'en als $a=b$.

\pause
De 
\emph{Ongelijkheid van Rekenkundig en Meetkundig Gemiddelde}
\end{frame}

\subsection{Blokken}

\begin{frame}

\frametitle{Vaste oppervlakte ($O=216$)}

Bekijk een blok met zijden $a$, $b$ en $c$ en oppervlakte $216$.\pause
$$
\begin{mfpic}[10]{0}{7}{0}{6}
\dotted\lines{(3,2),(0,0)}
\dotted\lines{(3,2),(7,2)}
\dotted\lines{(3,2),(3,6)}
\lines{(4,4),(4,0)}
\lines{(4,4),(0,4)}
\lines{(4,4),(7,6)}
\polygon{(0,0),(4,0),(7,2),(7,6),(3,6),(0,4)}
\tlabel[tc](2,3.9){$a$}
\tlabel[cl](4.1,2){$c$}
\tlabel[tl](5.5,5){$b$}
\end{mfpic}
$$\pause
Oppervlakte: $O=2(ab+ac+bc)$

\pause
Volume: $V=abc$.

\pause
Is er een relatie tussen $V$ en $O$?
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Vaste oppervlakte ($O=216$)}

Net ale bij twee getallen hebben we voor drie getallen ook een ongelijkheid.

\pause

Voor drie positieve getallen $p$, $q$, en $r$ geldt
$$
\sqrt[3]{pqr\strut}\le \frac{p+q+r}3
$$
met gelijkheid all\'e\'en als $p=q=r$.  

\pause
Straks: een \emph{bewijs}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Vaste oppervlakte ($O=216$)}

Vul in: $p=\pause ab$, \pause$q=\pause ac$ \pause en $r=\pause bc$. \pause

Er komt\pause
$$
\sqrt[3]{abacbc}\le\frac{ab+ac+bc}3
$$\pause
Hier staat\pause
$$
V^{\frac23}\le\pause\frac16O=\pause36
$$\pause
of
$$
V\le\pause\left(\frac16O\right)^{\frac32}=\pause\sqrt{36}^3=\pause216
$$\pause
en \dots
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Vaste oppervlakte ($O=216$)}

\dots{} het enige blok met oppervlakte $O=216$ waarvan het volume gelijk
is aan~$216$ is het blok dat voldoet aan\pause
$$
ab = ac = bc
$$\pause
hieruit volgt heel snel dat \pause $a=b=c$, \pause 
dus bij vaste oppervlakte heeft de \alert{kubus} maximaal volume

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Vast volume ($V=216$)}

De ongelijkheid geeft (net als bij rechthoeken) meteen een antwoord op de
omgekeerde vraag. 

\pause
Even opknappen\pause
$$
V^2\le\frac1{216}O^3
$$\pause
Dus: als $V=216$ dan $216^3\le O^3$ met gelijkheid all\'e\'en als het een kubus
is.
  
\end{frame}

\subsection{Een bewijs}

\begin{frame}
\frametitle{Twee getallen}

We weten: \pause als $a,b\ge0$ dan\pause
$$
\sqrt{ab\strut}\le\frac{a+b}2  
$$\pause
met gelijkheid all\'e\'en als $a=b$.

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Vier getallen}

Neem $a,b,c,d\ge0$ dan\pause
$$
\alert{\sqrt[4]{abcd\strut}}=\pause\sqrt{\sqrt{ab\strut}\sqrt{cd\strut}}\pause
         \le\pause\frac12\left(\sqrt{ab\strut}+\sqrt{cd\strut}\right)
$$\pause
en\pause
$$
\frac12\left(\sqrt{ab\strut}+\sqrt{cd\strut}\right)\le\pause
\frac12\left(\frac{a+b}2+\frac{c+d}2\right)\pause=\pause
\alert{\frac{a+b+c+d}4}
$$\pause
dus \dots

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Vier getallen}
\dots vinden we\pause
$$
\alert{\sqrt[4]{abcd\strut}\le\pause\frac{a+b+c+d}4}
$$
met gelijkheid all\'e\'en als \pause \alert{$a=b=c=d$}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Drie getallen}

Neem $a,b,c\ge0$ en \pause maak er een \alert{$d$} bij: \pause 
$\alert{d}=\alert{\frac13(a+b+c)}$\pause

Vul in:\pause
$$
\sqrt[4]{abc\alert{d}\strut}\le\frac{a+b+c+\alert{d}}4\pause=\pause
\frac{3\alert{d}+\alert{d}}4\pause=\pause\alert{d}
$$\pause
of \pause
$$
abc\alert{d}\le\alert{d}^4
$$\pause
en dus $abc\le\alert{d}^3$ \pause 
ofwel $\sqrt[3]{abc\strut}\le\alert{d}$ \pause 
en hier staat \pause
$$
\sqrt[3]{abc\strut}\le\alert{\frac{a+b+c}3}
$$
met gelijkheid all\'e\'en als $a=b=c$

\end{frame}

\subsection{Driehoeken}

\begin{frame}
\frametitle{Vaste omtrek ($L=30$)}

We hebben een driehoek met zijden $a$, $b$ en $c$ en omtrek $L=30$.\pause
$$
\hbox{\begin{mfpic}[10]{0}{4}{0}{4}
\polygon{(0,0),(4,1),(2,4)}
\tlabel[tl](2,0.5){$c$}
\tlabel[bl](3,2.5){$a$}
\tlabel[br](1,2){$b$}
  \end{mfpic}}
$$\pause
\emph{Formule van Heron} voor de oppervlakte:
$$
O=\sqrt{\strut s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$\pause
met $s=\frac12L=\frac12(a+b+c)$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Vaste omtrek ($L=30$)}

We hebben vier getallen, dus
$$
\sqrt{O\strut}\pause=\pause\sqrt[4]{\strut s(s-a)(s-b)(s-c)}\pause\le
\pause\frac14(s+s-a+s-b+s-c)
$$\pause
conclusie\pause
$$
\sqrt{O\strut}\pause\le\pause\frac14(4s-2s)\pause=\pause\frac14L\pause
 =\pause7\frac12
$$\pause
met gelijkheid als $s=s-a=s-b=s-c$ \pause dat wil zeggen als $a=b=c=0$ 
\dots {} ?????
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Vaste omtrek ($L=30$)}

We hebben \emph{drie} variabele getallen, dus proberen we
$$
\sqrt[3]{\strut(s-a)(s-b)(s-c)}\pause\le\pause\frac13(s-a+s-b+s-c)\pause
=\pause\frac13(3s-2s)\pause=\pause\frac13s
$$\pause
conclusie\pause
$$
O^2\pause=\pause s(s-a)(s-b)(s-c)\pause\le\pause s\times\frac1{27}s^3
\pause=\frac1{27}s^4
$$
met gelijkheid all\'e\'en als $s-a=s-b=s-c$.

\pause
Met worteltrekken \dots
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Vaste omtrek ($L=30$)}

\dots{} komt er
$$
O\le \frac1{3\sqrt3}s^2\pause=\pause\frac1{12\sqrt3}L^2 = \frac{900}{12\sqrt3}
$$\pause
Dus de oppervlakte is, bij omtrek $30$, nooit groter dan 
$\frac{900}{12\sqrt3}$ \pause en als alle zijden gelijk aan $10$ zijn
is de oppervlakte precies zo groot. \pause

Bij vaste omtrek heeft een \emph{gelijkzijdige driehoek} de maximale
oppervlakte.
 
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Vaste omtrek}

De ongelijkheid
$$
O\le\frac1{12\sqrt3}L^2
$$
is de \emph{Isoperimetrische Ongelijkheid} voor driehoeken.

\pause \bigskip

Wat heeft de grootste oppervlakte?

Een gelijkzijdige driehoek met omtrek $30$ \pause\\ of \pause\\
een vierkant met omtrek $30$? 
\end{frame}

\subsection{Gemiddelden}

\begin{frame}
\frametitle{Gemiddelde weerstand (in serie)}

Twee weerstanden in serie
$$
\hbox{\begin{mfpic}[30]{0}{5.5}{0.25}{0.75}
\lines{(0,0.5),(1,0.5),(1,0.25),(2,0.25),(2,0.5),
       (3,0.5),(3,0.25),(4.5,0.25),(4.5,0.5),(5.5,0.5)}
\lines{(1,0.5),(1,0.75),(2,0.75),(2,0.5)}
\lines{(3,0.5),(3,0.75),(4.5,0.75),(4.5,0.5)}
\tlabel[cc](1.5,0.5){$2\,\Omega$}
\tlabel[cc](3.75,0.5){$3\,\Omega$}
\end{mfpic}}
$$\pause
De totale weerstand is \dots 

\pause
Dus de gemiddelde weerstand is \dots

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Gemiddelde weerstand (parallel)}

Twee weerstanden parallel
$$
\hbox{\begin{mfpic}[30]{0}{5.5}{0.25}{2.75}
\lines{(0,1.5),(1,1.5),(1,2.5),(2.25,2.5)}
\lines{(0,1.5),(1,1.5),(1,0.5),(2,0.5)}
\lines{(5.5,1.5),(4.5,1.5),(4.5,2.5),(3.25,2.5)}
\lines{(5.5,1.5),(4.5,1.5),(4.5,0.5),(3.5,0.5)}
\polygon{(2,0.25),(3.5,0.25),(3.5,0.75),(2,0.75)}
\polygon{(2.25,2.25),(3.25,2.25),(3.25,2.75),(2.25,2.75)}
\tlabel[cc](2.75,2.5){$2\,\Omega$}
\tlabel[cc](2.75,0.5){$3\,\Omega$}
\end{mfpic}}
$$\pause
De totale weerstand is \dots

\pause
Dus de gemiddelde weerstand is \dots

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Gemiddelde weerstand}

Ik wil de twee weerstanden, van $2$ en $3$ Ohm, vervangen door twee gelijke
weerstanden z\'o dat de totale weerstand gelijk blijft.

\bigskip\pause
In serie: totale weerstand is \pause de som, 

\pause de gemiddelde weerstand, $\rho_s$, is $\frac12(2+3)$.

\bigskip\pause
Parallel: de totale weerstand $R$ voldoet aan \pause 
$\frac1R=\frac12+\frac13$.

\pause
De gemiddelde weerstand, $\rho_p$, moet voldoen aan \pause
$$
\frac1{\rho_p}+\frac1{\rho_p}=\frac12+\frac13
$$
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Gemiddelde weerstand}

Dus twee verschillende gemiddelden!

\bigskip
\pause
In serie: $\rho_s=\frac12(R_1+R_2)$

\bigskip

\pause
Parallel: $\frac1{\rho_p}=\frac12(\frac1{R_1}+\frac1{R_2})$, dus\pause
$$
\rho_p=\frac2{\frac1{R_1}+\frac1{R_2}}
$$

  
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Nog een gemiddelde}

Als $a$ en $b$ zijden van een rechthoek zijn dat heeft een vierkant
met zijden $\sqrt{ab\strut}$ dezelfde oppervlakte als die rechthoek.

\bigskip
$\sqrt{ab\strut}$ is \emph{ook} een gemiddelde.  
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Drie gemiddelden}

We hebben voor twee positieve getallen $a$ en $b$ drie gemiddelden

\pause
\begin{description}
\item[Rekenkundig] $R(a,b)=\frac12(a+b)$
\pause
\item[Meetkundig] $M(a,b)=\sqrt{ab\strut}$
\pause
\item[Harmonisch] $H(a,b)=2/(\frac1a+\frac1b)$
\end{description}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Drie gemiddelden}

We hebben gezien: $M(a,b)\le R(a,b)$

\bigskip\pause
Ook: $M(\frac1a,\frac1b)=1/M(a,b)$ en $H(a,b)=1/R(\frac1a,\frac1b)$ \pause
dus\pause
$$
\frac1{M(a,b)}=M\left(\frac1a,\frac1b\right)\le 
 R\left(\frac1a,\frac1b\right)=\frac1{H(a,b)}
$$\pause
Conclusie
$$
\alert{H(a,b)\le M(a,b)\le R(a,b)}
$$
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Drie gemiddelden}

Je kunt dit gebruiken om wortels af te schatten
$$
5\frac5{11}\le\sqrt{30}\le5\frac5{10}
$$\pause
($a$ en $b$ slim kiezen)

\pause
Je kunt veel met deze (en andere) ongelijkheden doen 

\end{frame}

\subsection{Rijen}
\begin{frame}
\frametitle{De rij $\sqrt[n]{n!}$}

We kennen $n!$ ($n$-faculteit): \pause
$n!=1\times2\times3\times\cdots\times n$.

\pause
Hoe snel groeit die rij?\pause  
$$
n!=\pause\sqrt{n!\times n!}
$$\pause
Schrijf dat heel ingewikkeld op:
$$
\sqrt{1\times n}\times\pause\sqrt{2\times(n-1)}\times\pause
\sqrt{3\times(n-2)}\times\pause\cdots\times\pause\sqrt{n\times1}
$$\pause
voor elke factor \pause $\sqrt{k\times(n-k+1)}$ krijgen we \dots

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{De rij $\sqrt[n]{n!}$}

\dots{} een afschatting:
$$
\sqrt{k\times(n-k+1)}\le\pause\frac12(k+n-k+1)=\pause\frac{n+1}2
$$\pause
Dus 
$$
n!\le\pause \left(\frac{n+1}2\right)^n = \pause\frac{(n+1)^n}{2^n}
$$\pause
of \dots
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{De rij $\sqrt[n]{n!}$}
\dots{} voor de $n$-demachtswortel:
$$
\sqrt[n]{n!}\le \frac{n+1}2
$$\pause
Een heel makkelijke afschatting van een lastige uitdrukking.

\bigskip
\pause
Opgave: toon aan $n!\le \frac{n^n}{2^{n-1}}$. \\
Hint: zet de $n$-en apart en bekijk de factoren $k(n-k)$
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{De rij $\sqrt[n]{n!}$}

Er is ook een onderschatting:

\smallskip
\pause
Eerst: voor $1\le k \le n$ geldt $k(n-k+1)-n=\pause(k-1)(n-k)\ge\pause0$.

\smallskip
\pause
Dus $k(n-k+1)\ge n$ ofwel $\sqrt{k(n-k+1)}\ge\sqrt n$

\medskip
En dus:\pause
$$
n!\ge (\sqrt{n})^n
$$\pause
conclusie
$$
\sqrt[n]{n!}\ge\sqrt{n}
$$
  
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{De rij $\sqrt[n]{n}$}

Er is een algemene stelling voor $n$-tallen positieve getallen:
$$
\sqrt[n]{\strut a_1\times a_2\times\cdots\times a_n}\le\pause
\frac1n(a_1+a_2+\cdots+a_n)
$$\pause
de algemene \emph{Ongelijkheid van Rekenkundig en Meetkundig Gemiddelde}.

\bigskip
\pause  
Bewijs: eerst voor $n=8$, dan $n=7$, $n=6$, $n=5$, 
vervolgens $n=16$, dan $n=15$, $n=14$, \dots

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{De rij $\sqrt[n]{n}$}

Kies de $a_i$ slim: $a_1=n$ en $a_2=\cdots=a_n=1$ \pause
$$
\sqrt[n]{n}\le\pause\frac1n(n+n-1)\pause=\pause2-\frac1n
$$\pause
Dus, voor alle $n$ geldt\pause
$$
\sqrt[n]{n}<2
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{De rij $\sqrt[n]{n}$}

Kies de $a_i$ nog slimmer: \pause 
$a_1=a_2=\sqrt{n}$ en  $a_3=\cdots=a_n=1$ \pause
$$
\sqrt[n]{n}\le\pause\frac1n(2\sqrt{n}+n-2)\pause=
\pause \frac2{\sqrt{n}}+1-\frac2n
$$\pause
Dus, voor alle $n$ geldt\pause
$$
\sqrt[n]{n}<1+\frac2{\sqrt{n}}
$$

\end{frame}

\closegraphsfile
\end{document}

