Deze cursus laat in zes(?) colleges zien hoe het oplossen van polynoomvergelijkingen zich door de eeuwen heen heeft ontwikkeld.
In de oudheid konden de Babyloniërs al kwadraat afsplitsen en tweedegraadsvergelijkingen oplossen.
In China behandelde men al stelsels lineaire vergelijkingen.
De Arabieren losten derdegraadsvergelijkingen met behulp van kegelsneden exact op, en ook bij benadering door staartdeling.
In Italië kwam de doorbraak naar het algebraïsch oplossen van derde- en vierdegraadsvergelijkingen. Daar bleken ook nieuwe `imaginaire' getallen nodig om de formules te kunnen laten werken. Namen: Tartaglia, del Ferro, Cardano, Bombelli.
Veel onderzoek naar de relatie tussen oplossingen en coëfficiënten: Newton, Lagrange, Vandermonde.
Ruffini en Abel: geen formule voor de vijfdegraadsvergelijking.
Iedereen die wil weten waar de abc-formule toch vandaan komt, wat die formules van Cardano toch zijn, en hoe je in vredesnaam bewijst dat een formule niet bestaat.
Kennis van de abc-formule is mooi meegenomen. Verder maakt ervaring met middelbare-schoolalgebra het volgen van het verhaal makkelijker.
De stof zal over zes(?) colleges verdeeld worden.
In het oude Egypte ziet men al methoden om lineaire vergelijkingen op te lossen; dat was moeilijker dan het lijkt omdat de gebezigde notatie niet erg handig was.
In Mesopotamië en de Griekse wereld ziet met oplosmethoden voor tweedegraadsvergelijkingen die we no nog steeds gebruiken: kwadraat afsplitsen en de abc-formule (niet letterlijk, maar men kan hem herkennen). Die methoden steunen nog op de meetkunde.
In de Arabische wereld komt het getalbegrip meer los van de meetkunde en pakt men de zaal meer algebraïsch aan.
In de Griekse en vooral later in de Arabische wereld kon men derdegraadsvergelijkingen meetkundig aanpakken.
De Grieken met extra hulpmiddelen die niet in De Elementen voorkwamen.
In de Arabische wereld gebruikte men kegelsneden. Die aanpak is ook in Nederland in de boeken terug te vinden.
In Italië kwam de doorbraak naar het algebraïsch oplossing van derde- en vierdegraadsvergelijkingen: de formules van Cardano.
Die formules zijn van later datum; in Cardano's tijd werden de oplossingen algoritmisch in woorden beschreven.
Om die oplosmethoden te kunnen laten werken waren wel nieuwe getallen nodig: Bombelli bedacht de complexe getallen om de oplosmethoden universeel te laten werken.
Wat te doen met hogeregraadsvergelijkingen?
In de Arabische wereld gebruikte men al staartdelingen om oplossingen van polynoomvergelijkingen te benaderen.
Newton deed dit ook, maar vond dat de oneindige reeksen die hij zo kreeg al als oplosformules telden.
Newton drukte de coëfficiënten van de vergelijkingen uit in hun oplossingen. Dit leidde tot nieuwe inzichten en overzichtelijke\slash systematische afleidingen van alledrie tot dan toe bekende formules door Lagrange en Vandermonde.
Hierdoor rees ook de hoop dat hiermee ook oplosformules voor alle polynoomvergelijkingen konden worden gevonden.
Er is geen oplosformule voor de algemene vijfdegraadsvergelijking. Dat wil zeggen: geen formule die alleen de operaties optellen, vermenigvuldigen, en hogeremachtswortelstrekken gebruikt.
Dat is de inhoud van de stelling van Ruffini en Abel. Évariste Galois kreeg precies door hoe je kon karakteriseren welke vergelijkingen wel en niet in formulevorm zijn op te lossen.