Topologie

Tentamen

Dictaat

Het college wordt gegeven aan de hand van een dictaat dat hier down te loaden is. De topologie heeft vele gedaanten. In de eerste helft bekijken we de Algemene Topologie, deze is nogal abstract maar juist daardoor in vele gebieden toepasbaar. We concentreren ons op compactheid en producten omdat deze twee noties vaak in de Functionaalanalyse voorkomen. De tweede helft zal meer algebraisch/combinatorisch van aard zijn, we zullen zien hoe aan bepaalde ruimten een groep kan worden toegevoegd en wel zo dat `gelijke' ruimten `gelijke' groepen opleveren. Zo kan men niet alleen ruimten onderscheiden maar ook structurele zaken bewijzen, bijvoorbeeld: elke continue afbeelding van het eenheidsvierkant naar zichzelf heeft een dekpunt. Dit tweede deel is nog in aanbouw; wellicht gaan we voor dit deel het boek van Armstrong gebruiken.

Samenvatting

Hoofdstuk 0: Metrische ruimten: Een herhaling/samenvatting/uitbreiding van wat in het vak Wiskundige Structuren over metrische ruimten aan bod is geweest. De nadruk ligt op het herkennen van de topologische eigenschappen van metrische ruimten.
Hoofdstuk 1: Topologische ruimten: De definitie van het begrip Topologische ruimte en enkele eerste voorbeelden. Daarnaast twee manieren om topologische ruimten te definiëren: door middel van bases en lokale bases.
Hoofdstuk 2: Scheidingsaxioma's: Een scheidingsaxioma geeft aan hoe punten en gesloten verzamelingen topologisch uit elkaar gehouden kunnen worden. De meest gangbare eigenschappen komen aan bod: T₀, T₁, Hausdorff, regulier, volledig regulier en normaal.
Hoofdstuk 3: Compactheid: De definitie van het begrip Compactheid en de belangrijkste eigenschappen.
Hoofdstuk 4: Producten: De definitie de producttopologie en een lijst van basiseigenschappen.
Hoofdstuk 5: De stelling van Tychonoff: Het product van compacte ruimten is compact. Dit hoofdstuk bevat twee bewijzen van deze stelling, alsmede een korte introductie van het Keuzeaxioma, de Welordeningsstelling en het Lemma van Zorn.

Extra's

Mijn favoriete topologische ruimten zijn betaN en betaR (hier is nog wat voorkennis).
Het dictaat van een cursus Topologie die ik aan de VU gegeven heb.
Een cursus Verzamelingtheoretische Topologie; het eerste hoofdstuk bevat wat verzamelingenleer.
Een verhaal uit Pythagoras over de Banach-Tarski paradox
Een lezing uit 2003 voor de Leidsche Flesch, over Oneindig in de Wiskunde met aan het eind een uitleg van de paradox van Hausdorff.
Een artikel van J. L. Kelley waarin bewezen wordt dat de Stelling van Tychonoff het Keuzeaxioma impliceert.
Twee artikelen van H. Cartan waarin filters geintroduceerd worden: definities en toepassingen.
De wortel uit R³ bestaat niet.
Er zit muziek in het Keuzeaxioma.

Vorig jaar

De informatie uit de cursus 2005-2006 staat hier.

K_dot_P_dot_Hart_at_TUDelft_dot_nl

Last modified: Thursday 01-09-2022 at 12:45:58 (CEST)