Convolutie

Het begrip convolutie is handig voor het vinden van de inverse Laplace-transformatie van een product van functies. Om te garanderen dat de Laplace-transformatie gedefinieerd is zullen we aannemen dat alle functies van exponentiële orde zijn.

Definitie 1   Het convolutie-product van twee functies 1#1 en 2#2 is gedefinieerd door

3#3

Het convolutie product is geen gewoon product van twee functies:

Voorbeeld 2  

4#4

Voorbeeld 3  

5#5

Stelling 4 (Eigenschappen van de convolutie)  

(i)

6#6;

(ii)

7#7;

(iii)

8#8.

Het verband tussen convolutie en Laplace-transformatie is beschreven in de volgende stelling.

Stelling 5 (Convolutie-stelling)   Zij 9#9 en 10#10. Dan geldt:

11#11

Opmerking 6   We hebben dus de volgende twee formules:

12#12   en13#13

Voorbeeld 7   We berekenen 14#14 met behulp van de convolutie.

15#15