NWD 2026: Twee vroege bewijzen van de Hoofdstelling van de Algebra

We bekijken twee vroege bewijzen van de Hoofdstelling van de Algebra, die zegt dat elk complex polynoom \(p(z)\) een complex nulpunt heeft. Of, in de woorden van Albert Girard (1629):

Het eerste bewijs, uit 1799 van Gauss, gebruikte iets dat volgens hem "meetkundig duidelijk was" maar dat pas veel later, in 1920 door Ostrovski, bewezen werd. Dit is mooi aanschouwelijk te maken en men kan zich voorstellen dat Gauss met open ogen in zijn eigen val liep.

Het tweede bewijs, uit 1814 van Argand, kwam neer op bewijzen dat als \(p(z)\neq0\) er een complex getal \(w\) is met \(\bigl|p(w)\bigr|<\bigl|p(z)\bigr|\); men vindt dan een nulpunt door het globale minimum van \(\bigl|p(z)\bigr|\) te bepalen. Ook dit bewijs is mooi meetkundig in het complexe vlak weer te geven.

Na een kort overzicht van de geschiedenis van de hoofdstelling bekijken we de meetkundige aspecten van de bewijzen van Gauss en en Argand.

De slides

• Zoals gebruikt tijdens de voordracht.
• Om rustig te lezen. (Woorden in lichtrood zijn links naar de bronnen.)

Het materiaal

Invention nouvelle en l'algèbre van Albert Girard.

Er zijn twee versies te vinden:

• Het origineel op gallica.bnf.fr; de Hoofdstelling van de Algebra staat hier, onderaan de pagina.
• Op archive.org staat een heruitgave door D. Bierens de Haan uit 1884.

Waarschuwing: Girard gebruikte de notatie van Simon Stevin, waarbij de \(n\)-de macht van de onbekende door een omcirkelde \(n\) wordt weergegeven.

Recherches sur le calcul intégral van Jean Le Rond d'Alembert

Te lezen bij de Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften; de figuren waarnaar verwezen wordt staan op deze bladzijde. Bladzijden 182–195 gaan over complexe getallen; vanaf bladzijde 196 gaat het over integralen.

Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse van Carl Friedrich Gauss

In diverse versies te vinden:

• Een scan van het proefschrift van Gauss op de Humboldt-Universiteit in Berlijn. (Zonder de figuren.)
• Het eerste werk in Band III van de verzamelde werken (De figuren staan meteen na het artikel, pagina 30a).
• Een Duitse vertaling in een boek met vertalingen van de vier bewijzen van Gauss door Eugen Netto; de figuren staan helemaal achterin.

Über den ersten und vierten Gaussschen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra van Alexander Ostrowski.

Te vinden in Göttingen als deel van een groter werk over de werken van Gauss.

Twee artikelen van Argand.

• Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires, dans les constructions géométriques: een meetkundige beschrijving van de complexe getallen.
• Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d'une application à la démonstration d'un théorème d'analise: het bewijs van de Hoofdstelling van de Algebra.

Ander materiaal

• Geschiedenis van het oplossen van Polynoomvergelijkingen; een cursus voor de HOVO in Leiden.
• Wat iedereen over Complexe Functies moet weten; een stoomcursus Complexe Functietheorie, met nog eens drie bewijzen van de Hoofdstelling van de Algebra.