Een bewijs

We voeren coördinaten in: we vatten het punt $A$ op als oorsprong. De lijn door $A$ en $B$ wordt de $x$-as, op zo'n manier dat $B$ samen valt met het punt $(1,0)$. Dus $A=(0,0)$ en $B=(1,0)$. De cirkel met middelpunt $A$ en straal $AB$ is nu de eenheidcirkel geworden, en $P$ is het punt $(\cos20{}^\circ ,0)$.

De formule $\cos2\alpha=2\cos^2-1$ geeft $\cos\alpha=2\cos^2\smash{\textstyle\frac12}\alpha-1$. Hieruit volgt dat

$$\cos\smash{\textstyle\frac12}\alpha=\sqrt{\strut\smash{\textstyle\frac12}+\smash{\textstyle\frac12}\cos\alpha}.$$

We kunnen hiermee formules voor $\cos30{}^\circ$, $\cos15{}^\circ$ en  $\cos7\smash{\textstyle\frac12}{}^\circ$ afleiden:

$$\cos30{}^\circ =\sqrt{\strut\smash{\textstyle\frac12}+\smash{\textstyle\frac14}}=\smash{\textstyle\frac12}\sqrt3,$$

$$\cos15{}^\circ =\sqrt{\smash{\textstyle\frac12}+\smash{\textstyle\frac14}\sqrt3}$$

en

$$\cos7\smash{\textstyle\frac12}{}^\circ =\sqrt{\smash{\textst... ...rt{\smash{\textstyle\frac12}+\smash{\textstyle\frac14}\sqrt3}}$$

Deze formules illustreren twee belangrijke feiten over construeerbare getallen die we (zonder bewijs) zullen gebruiken.
A.  Alle construeerbare getallen ontstaan uit $0$ en $1$ door optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en (vierkants)wortels te trekken.
B.  Elk construeerbaar getal is oplossing van een vergelijking van de vorm $a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0=0$, waarbij de $a_i$ gehele getallen zijn. De kleinst mogelijke $n$ die we hier kunnen nemen, is een macht van $2$. Zo is  $\cos15{}^\circ$ een oplossing van de vergelijking $x^4-x^2+\frac1{16}=0$ (kwadrateer links en rechts in $\cos^215{}^\circ -\smash{\textstyle\frac12}=\frac14\sqrt3$). Voor  $\cos7{,}5{}^\circ$ is zelfs een achtstegraads vergelijking nodig. Probeer deze vergelijking maar eens op te schrijven.

De somregel voor de cosinus luidt $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$. Deze regel kunnen we gebruiken om een formnule voor $\cos3\alpha$ te vinden:

$$\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha.$$

Vullen we in $\alpha=20{}^\circ$, dan vinden we $\smash{\textstyle\frac12}=4\cos^320{}^\circ -3\cos20{}^\circ$. Vermenigvuldigen we deze vergelijking met 2, dan vinden we dat $\cos20{}^\circ$ een oplossing is van de vergelijking

$$8x^3-6x-1=0. \eqno(\star)$$

Dit is een derdegraads vergelijking. Stel dat $8x^3-6x-1$ te ontbinden is. Dan zijn er gehele getallen $p$, $q$, $r$, $s$ en $t$ zó dat

$$8x^3-6x-1=(px+q)(rx^2+sx+t)$$

Hieruit volgt dat $pr=8$, $qr+sp=0$, $qs+pt=-6$ en $qt=-1$. Het is nu een eenvoudige opgave om na te gaan dat zulke $p$, $q$, $r$, $s$ en $t$ niet bestaan. De vergelijking $(\star)$ is dus niet te ontbinden met behulp van gehele getallen. De minimale graad van een vergelijking voor  $\cos20{}^\circ$ is daarom gelijk aan $3$. Dit is geen macht van $2$, en daarom is  $\cos20{}^\circ$ niet construeerbaar.