Construeerbare en niet-construeerbare punten

We kunnen constructies afzonderlijk bekijken, maar we kunnen ook systematisch nagaan welke punten we krijgen als we beginnen met twee punten $A$ en $B$. We kunnen om te beginnen de lijn door $A$ en $B$ trekken en de cirkels om $A$ en $B$ met straal $AB$.

Hiermee hebben we vier nieuwe punten geconstrueerd, te weten de twee snijpunten van de cirkels en de twee nieuwe snijpunten van de cirkels met de lijn. We herhalen dit procédé met de nieuwe verzameling punten. Door deze zes punten kunnen we negen verschillende lijnen trekken. Verder kunnen we vierentwintig cirkels tekenen: om elk van de zes punten vier cirkels met stralen de lijnstukken $AB$, $2AB$, $3AB$ en $\sqrt3AB$.

Hiermee hebben we een heleboel nieuwe punten geconstrueerd. Wat gebeurt er nu als we deze stappen blijven herhalen? Bijvoorbeeld: kunnen we, uitgaande van twee punten $A$ en $B$ in het vlak, in een eindig aantal stappen èlk willekeurig punt construeren?

Het antwoord op deze vraag is: ``Neen''. Om dit te bewijzen is het voldoende een voorbeeld te geven van een punt dat niet te construeren is. Wij geven zo'n punt. Trek een cirkel met middelpunt $A$ en straal $AB$. Kies op deze cirkel een punt $D$ zodat $\angle ABC=20{}^\circ$. Projecteer dit punt loodrecht op het lijnstuk $AB$, noem de projectie $P$. Het punt $P$ is ons voorbeeld: je kunt het punt wel tekenen met je geodriehoek, maar je kunt het niet construeren met alleen passer en liniaal. Dit betekent ook dat je niet elke hoek met passer en liniaal in drie gelijke hoeken kan delen. Immers, op de cirkel kun je, uitgaande van alleen $A$ en $B$ wèl een punt $C$ construeren met $\angle BAC=60{}^\circ$. Als we deze hoek van $60{}^\circ$ met passer en liniaal in drieën zouden kunnen delen, dan zouden we met passer en liniaal $D$ kunnen construeren, en daarmee ook de loodrechte projectie $P$ op de $x$-as.