Het is geen parabool

Dat het touw geen parabool beschrijft volgt uit een karakteristieke eigenschap van de vorm van het touw en een karakteristieke eigenschap van de parabool.

Eerst het touw:

$$\includegraphics{catena-1.eps}$$

we nemen een punt $P$ ergens op het touw en bekijken de kracht $F$ die naar rechtsboven trekt. De horizontale component van die kracht is gelijk aan de horizontale kracht $F_0$ die in het laagste punt $Q$ naar links trekt -- omdat het touw niet beweegt wordt er blijkbaar in $Q$ en $P$ even hard getrokken. Dit geeft de vergelijking

$$F_0=F\cos\alpha.$$

Vertikaal moet de kracht het stuk touw tussen $Q$ en $P$ ophouden en dat vergt $as$; hierin is $s$ de lengte van het stuk touw en $a$ een constante waar de soortelijke massa en de zwaartekracht in verwerkt zijn. We krijgen dus als tweede vergelijking:

$$as=F\sin\alpha.$$

Als we deze vergelijkingen op elkaar delen krijgen we

$$\tan\alpha = ks, \eqno(1)$$

waarbij we $k=a/F_0$ stellen. Wat dit betekent is dat de helling van de raaklijn in een punt aan de kromme recht evenredig is met de lengte van het stuk tussen dat punt en het laagste punt.

Nu kijken we naar een parabool van de vorm $y=px^2$.

$$\includegraphics{catena-2.eps}$$

In een punt $P=(x,px^2)$ op de parabool is de helling van de raaklijn gelijk aan $2px$, met andere woorden $\tan\alpha=2px$.

Als ons touw een parabool zou beschrijven dan zou in elk punt de betrekking

$$ks=\tan\alpha=2px$$

moeten gelden; met andere woorden: de booglengte is recht evenredig met de $x$-coördinaat. In het bijzonder zouden de booglengten van $x=0$ tot $x=1$ en die van $x=1$ tot $x=2$ even lang moeten zijn. Maar voor de parabool $y=x^2$ kan dat duidelijk niet: het eerste stuk is korter dan $2$; het tweede stuk is langer dan $\sqrt{10}$.

$$\includegraphics{catena-3.eps}$$

Je kunt zelfs bewijzen dat een kromme waarvan de booglengte recht evenredig is met de $x$-coördinaat een rechte lijn moet zijn.