Mag dat zomaar?

Nu hebben we wel heel leuk uit een plaatje afgelezen dat $\sin\alpha\approx\alpha$ en daaruit afgeleid dat $\cos\alpha\approx1-\textstyle\frac 12\alpha^2$, maar we moeten natuurlijk wel controleren hoe goed die benaderingen zijn. Dat kunnen we met een beetje werk redelijk eenvoudig doen.

Om te beginnen geldt $\sin\alpha<\alpha$ en daarmee vinden we meteen dat $\cos\alpha>1-\textstyle\frac 12\alpha^2$. Uit het volgende plaatje kunnen we aflezen dat $\alpha<\tan\alpha$:

$$\hbox{\includegraphics{april.3}}$$

de taartpunt heet oppervlakte $\frac 12\alpha$ en de oppervlakte van de grote driehoek is $\frac 12\tan\alpha$. Hieruit volgt weer dat $\sin\alpha>\alpha\cos\alpha$ en met $\cos\alpha>\textstyle\frac 12\alpha^2$ vinden we $\sin\alpha>\alpha-\textstyle\frac 12\alpha^3$. Conclusie

$$\alpha-\textstyle\frac 12\alpha^3<\sin\alpha<\alpha.$$

Dus, als we zeggen dat $\sin0.1\approx0.1$ dan zitten we er op z'n hoogst maar $0.0005$ naast!

Nu kunnen we ook de benadering van $\cos\alpha$ controleren via de formule $\cos\alpha=1-2\sin^2\textstyle\frac 12\alpha$:

$$1-\textstyle\frac 12\alpha^2<\cos\alpha< 1-2\left(\textstyle... ...tstyle\frac 12\left(\textstyle\frac 12\alpha\right)^3\right)^2$$

De rechterkant is gelijk aan $1-\textstyle\frac 12\alpha^2+\textstyle\frac 18\alpha^4-\textstyle\frac 1{128}\alpha^6$. Conclusie

$$1-\textstyle\frac 12\alpha^2<\cos\alpha<1-\textstyle\frac 12\alpha^2+\textstyle\frac 18\alpha^4.$$

Hiermee kunnen we uitrekenen hoe erg ik er naast zat met mijn antwoord: op z'n hoogst $R\cdot\textstyle\frac 18\alpha^4=1.36\,\mathrm{cm}$. Dit valt in het niet tegen alle mogelijke afrondfouten die bij het meten van de afstand Amsterdam-Groningen en het bepalen van de straal van de aarde gemaakt worden. Probeer de berekening nog maar eens met de afgeronde waarden $d=146\,\mathrm{km}$ en $R=6400\,\mathrm{km}$.