Een ander gemiddelde

Iedereen weet hoe je `het' gemiddelde van twee getallen $a$ en $b$ bepaalt: optellen en delen door $2$, het gemiddelde is $\frac12(a+b)$. Dat dit gemiddelde niet altijd het juiste gemiddelde is blijkt uit het volgende voorbeeld. Je hebt een balans waarvan de armen niet even lang zijn. Als een brief links hangt moet er rechts $56\eh{g}$ bij om de zaak in evenwicht te krijgen; met de brief rechts hoeft er links maar $44\eh{g}$ bij. Hoe zwaar is de brief nu? Je kunt dat uitrekenen met behulp van de wet `` $\mathrm{moment}=\mathrm{kracht}\times\mathrm{arm}$''. Als we het gewicht van de brief even $x$ noemen (en de lengte van de linker- en rechterarm respectievelijk $l$ en $r$) dan zegt de eerste weging ons dat $x\times l=56\times r$; de tweede weging geeft $44\times l=x\times r$. Hieruit volgt dan weer dat $56/x=l/r=x/44$ en dus $x^2=44\times 56$. We zien dat de brief $x=\sqrt{44\times 56}\approx49{},64$ gram zwaar is; iets minder dan het gewone gemiddelde van $44$ en $56$. Toch mogen we $\sqrt{44\times 56}$ met even veel recht een gemiddelde van $44$ en $56$ noemen; het wordt het meetkundig gemiddelde van de twee getallen genoemd. Ter onderscheidt noemen we het `gewone' gemiddelde daarom het rekenkundig gemiddelde. Het rekenkundig gemiddelde treedt op in situaties waarin je optelt; als je twee touwtjes hebt van lengte $a$ en $b$ dan zijn twee touwtjes van lengte $\frac12(a+b)$ samen even lang als de oorspronkelijke touwtjes samen. Het meetkundig gemiddelde heeft met vermenigvuldigen te maken: een rechthoek met zijden $a$ en $b$ heeft een even grote oppervlakte als een vierkant met (even lange) zijden $\sqrt{ab}$.

Opgave. Als je twee weerstanden $a$ en $b$ in serie schakelt is de totale weerstand hun som, de gemiddelde weerstand is dus het rekenkundig gemiddelde. Als je ze parallel schakelt dan geldt voor de totale weestand $c$ de volgende formule: $\frac1c=\frac1a+\frac1b$. Hoe ziet in deze situatie de gemiddelde weerstand er uit? (Dit gemiddelde heet het harmonisch gemiddelde van $a$ en $b$.)