Een ongelijkheid

De Franse wiskundige Cauchy vond de relatie tussen $\sqrt{ab}$ en $\frac12(a+b)$ belangrijk genoeg om hem apart als stelling te vermelden:

Het was dus geen toeval dat onze brief iets minder dan $50\eh{g}$ woog. Het bewijs van de ongelijkheid is niet moeilijk als je eerst naar de brief kijkt: $44\times56={(50-6)}{(50+6)}=50^2-6^2<50^2$ en dus $\sqrt{44\times56}<50$. Als je nu willekeurige $a$ en $b$ invult krijg je

$$ab=\left(\frac{a+b}2\right)^2-\left(\frac{a-b}2\right)^2 <\left(\frac{a+b}2\right)^2$$

en dus $\sqrt{ab}<\frac12(a+b)$. De stelling staat bekend als de ongelijkheid van Rekenkundig en Meetkundig Gemiddelde. Omdat, natuurlijk, $\sqrt{ab}=a=\frac12(a+b)$ als $a=b$ formuleren we de ongelijkheid ook wel als: voor elke tweetal positieve getallen $a$ en $b$ geldt $\sqrt{ab}\le\frac12(a+b)$, waarbij gelijkheid geldt precies dan als $a=b$.

Opgave. Wat is de relatie tussen het harmonische gemiddelde en de andere gemiddelden?

Cauchy stopte niet bij twee getallen; hij zag in dat de ongelijkheid ook voor grotere aantallen geldt. Bijvoorbeeld voor vier getallen $a$, $b$, $c$ en $d$:

$$\eqalign{{a+b+c+d\over4}&={1\over2}\left({a+b\over2}+{c+d\o... ... &\ge\sqrt{\sqrt{ab}\cdot\sqrt{cd}}\cr &=\root4\of{abcd}}$$

Voor drie getallen $a$, $b$ en $c$ paste hij een kunstgreep toe: stel $d={1\over3}(a+b+c)$ en pas het geval voor vier getallen toe:

$$\left(a+b+c+d\over4\right)^4\ge abcd.$$

Maar $a+b+c=3d$, dus er staat eigenlijk $d^4\ge abcd$; deel $d$ weg en we vinden $d^3\ge abc$ en dus

$${a+b+c\over3}\ge\root3\of{abc}.$$

In beide gevallen treedt gelijkheid op precies dan als de getallen allemaal aan elkaar gelijk zijn.

Opgave. Hoe zou je de ongelijkheid voor rekenkundig en meetkundig gemiddelde bewijzen voor zeven getallen? En voor een willekeurig aantal getallen?