Toepassingen

Iedereen `weet' dat van alle rechthoeken met een gegeven omtrek een vierkant de grootste oppervlakte heeft; met behulp van de ongelijkheid van rekenkundig en meetkundig gemiddelde kun je dat ook netjes bewijzen. Als $a$ en $b$ de zijden van een rechthoek met omtrek $L$ zijn geldt natuurlijk $L=2a+2b$. Onze ongelijkheid garandeert twee dingen: voor de oppervlakte $ab$ van de rechthoek geldt $ab\le\frac14(a+b)^2=\frac1{16}L^2$ en alléén als $a=b$ geldt ook gelijkheid. Merk op dat we de maximale oppervlakte erbij kado krijgen.

Opgave. Voor een driehoek met zijden $a$, $b$ en $c$ kun je de oppervlakte $O$ berekenen met de formule van Heron:

$$O=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

waarin $s$ de halve omtrek is: $s=\frac12(a+b+c)$. Wat kun je zeggen over de maximaal te halen oppervlakte als functie van de omtrek? Is er een driehoek waarbij die maximale oppervlakte gehaald wordt?

We gaan de rij $1$, $\sqrt2$, $\root3\of3$, $\root4\of4$, $\root5\of5$, ... onderzoeken. De rij begin stijgend (waarom geldt $\sqrt2=\root3\of3$?) en daalt dan, want $\root4\of4=\sqrt2$. Maar hoe gaat het verder? Geldt, bijvoorbeeld, $\root4\of4>\root5\of5$ of $\root4\of4<\root5\of5$? We kunnen dat uitvlooien met behulp van onze ongelijkheid. Eerst maken we het probleem wat makkelijker. Door de vijfde macht te nemen zien we dat we $4\root4\of4$ en $5$ moeten vergelijken en dat we, uiteindelijk, moeten weten of $\root4\of4$ groter of kleiner is dan $\frac54$. Dat kan door $4$ als product van vier getallen te schrijven, bijvoorbeeld $4=4\cdot1\cdot1\cdot1$ of $4=2\cdot2\cdot1\cdot1$. Het eerste product levert $\root4\of4<\frac14(4+1+1+1)=\frac74$, het tweede product levert $\root4\of4<\frac14(2+2+1+1)=\frac32$; beide leveren net niet wat we zoeken. Dan zetten we de zaak op z'n kop: $\frac14=\frac14\cdot1\cdot1\cdot1$ en dus $\root4\of{\frac14}<\frac14(\frac14+1+1+1)=\frac{13}{16}$, weer omdraaien geeft $\root4\of4>1\frac3{13}$ (nog net niet genoeg). Nog een keer, nu met $\frac14=\frac12\cdot\frac12\cdot1\cdot1$; we krijgen $\root4\of{\frac14}<\frac14(\frac12+\frac12+1+1)=\frac34$ en, jawel, dit geeft eindelijk uitsluitsel: $\root4\of4>\frac43>\frac54$ en dus $\root4\of4>\root5\of5$.

Opgave. Laat op dezelfde manier zien dat $\root5\of5>\frac54>\frac65$ en dus dat $\root5\of5>\root6\of6$.

Opgave. Schrijf $n=\sqrt n\cdot\sqrt n\cdot1\cdots1$ (met $n-2$ enen), zet alles op z'n kop en toon aan dat $\root n\of{\frac1n}<1-\frac1n$ en dus $\root n\of n>\frac{n}{n-1}>1+\frac1n$ (mits $n\ge 4$). De rij blijft dus vanaf $n=3$ dalen.

Opgave. Schrijf weer $n=\sqrt n\cdot\sqrt n\cdot1\cdots1$ en pas de ongelijkheid toe: $\root n\of n<\frac1n(2\sqrt n+n-2)$. Wat zegt dit over de rij $\root n\of n$?