Euler's afleiding

Isaac Newton had ontdekt dat je $\sin x$ als een oneindige som van machten van $x$ kunt schrijven::

$$\sin x=x-\textstyle\frac 16x^3+\textstyle\frac 1{120}x^5+\cdots+ \textstyle\frac {(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots$$

Euler deelde links en rechts door $x$:

$$\textstyle\frac {\sin x}x =1-\textstyle\frac 16x^2+\textstyl... ...20}x^4+\cdots+ \textstyle\frac {(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n}+\cdots$$

Dit is een functie die in $0$ de waarde $1$ aanneemt en die verder $\pi$, $-\pi$, $2\pi$, $-2\pi$, ..., $n\pi$, $-n\pi$, ... als nulpunten heeft. Wat Euler wist was dat als je van een functie $f$ vastlegt wat de nulpunten zijn, dat $f(0)=1$, en dat $f$ als som van machten van $x$ te schrijven is dan ligt $f$ helemaal vast.

Bijvoorneeld als we willen dat $f(0)=1$, dat $\pi$, $-\pi$, $2\pi$ en $-2\pi$ precies de nulpunten van $f$ zijn en dat $f$ als som van machten van $x$ te schrijven is dan moeten we wel

$$f(x)=(1-\textstyle\frac x\pi)(1+\textstyle\frac x\pi)(1-\textstyle\frac x{2\pi})(1+\textstyle\frac x{2\pi})$$

nemen. Dit kunnen we omwerken tot

$$(1-\textstyle\frac {x^2}{\pi^2})(1-\textstyle\frac {x^2}{4\pi^2}),$$

als we dit verder uitvermenigvuldigen komt er

$$1-(\textstyle\frac 1{\pi^2}+\textstyle\frac 1{4\pi^2})x^2+\textstyle\frac {x^4}{4\pi^4}.$$

Merk op dat tussen de haakjes voor de $x^2$ precies $\frac1{\pi^2}P(2)$ staat.

Als je precies $\pi$, $-\pi$, $2\pi$, $-2\pi$, ..., $n\pi$, $-n\pi$ als nulpunten wilt en $f(0)=1$ dan kom je, op dezelfde manier, uit op

$$(1-\textstyle\frac {x^2}{\pi^2})(1-\textstyle\frac {x^2}{4\pi^2})\cdots(1-\textstyle\frac {x^2n}{n^2\pi^2})$$

en als je dat weer uitwerkt komt er

$$1-(\textstyle\frac 1{\pi^2}+\textstyle\frac 1{4\pi^2}+\cdots+\textstyle\frac 1{n^2\pi^2})x^2+\cdots$$

ofwel

$$1-\frac1{\pi^2}P(n)x^2+\cdots$$

Als we nu $n$ laten groeien dan moeten we, wegens het uniek zijn van de functie, uiteindelijk op $1-\textstyle\frac 16x^2+\cdots$ uitkomen. Conclusie: $\frac1{\pi^2}P(n)\to\frac16$, ofwel $P(n)\to\frac{\pi^2}6$, als $n\to\infty$ en dat is nou precies wat we wilden weten.