De reeks met kwadraten

Hoe zit het met de $P(n)$? Deze getallen groeien ook maar er is een grens aan hun groei. De gebroeders Bernoulli konden met behulp van het volgende trucje zo'n grens aangeven:

$$\frac1{k^2}<\frac1{(k-1)k}=\frac1{k-1}-\frac1k,$$

en dus is $1+\textstyle\frac 14+\textstyle\frac 19+\cdots+\textstyle\frac 1{n^2}$ kleiner dan

$$1+(1-\textstyle\frac 12)+(\textstyle\frac 12-\textstyle\frac... ...extstyle\frac 1{n-1}-\textstyle\frac 1n)=2-\textstyle\frac 1n.$$

Conclusie: $P(1)<P(2)<P(3)<\cdots<P(n)<\cdots<2$.

Er moet dus een getal $\alpha$ zijn met de eigenschap dat $P(n)<\alpha$ voor alle $n$, én zo dat voor elk kleiner getal $\beta$ er een $n$ is met $P(n)>\beta$. Dat getal $\alpha$ is dan de waarde van de oneindige som

$$1+\textstyle\frac 14+\textstyle\frac 19+\cdots+\textstyle\frac 1{n^2}+\cdots$$

Maar wat is die $\alpha$ dan? Rond 1734 ontdekte Leonhard Euler dat $\alpha=\frac{\pi^2}6$ en gaf ons daarmee de volgende fraaie formule

$$1+\frac14+\frac19+\cdots+\frac1{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2}6.$$

In de volgende paragraaf zal ik uitleggen hoe Euler deze formule vond. Dat zal niet makkelijk zijn maar wie mee durft te gaan voorbij de drie rondjes krijgt een van de mooiste redeneringen uit de wiskunde te zien.