Hoe ver komt de slak?

We gaan kijken hoe dicht de slak bij het paard kan komen. Daarvoor moeten we de getallen

$$H(n)=1+{\textstyle\frac{1}{2}}+{\textstyle\frac{1}{3}}+\cdots+{\textstyle\frac{1}{n}}$$

beter bestuderen. Het is meteen duidelijk dat de getallen $H(n)$ steeds groter worden: $H(1)<H(2)<H(3)<\cdots$. Als je naar de antwoorden¹van de opgave kijkt dan rijst het vermoeden dat dat steeds groter worden wel heel langzaam gaat en misschien wel zo langzaam dat er een grens aan de groei is, een getal $M$ zó dat $H(n)<M$ voor alle $n$.

In de veertiende eeuw ontdekte Nicole Oresme dat zo'n grens er niet is. Hij moest dat indirect uitvinden omdat er geen handige formule voor de getallen $H(n)$ voorhanden was. Oresme bekeek alleen de getallen $H(2^k)$ en verdeelde de som op een handige manier in groepjes, bijvoorbeeld

$$H(8)=1+\frac12+(\frac13+\frac14)+(\frac15+\cdots+\frac18)>1+\frac12+\frac12+\frac12 =2\frac12$$

Zo kon Oresme voor elke $k$ inzien dat $H(2^k)>1+\frac12k$. Maar daaruit volgt dat we door $n$ maar groot genoeg te nemen we $H(n)$ net zo groot kunnen krijgen als we maar willen.

De slak is bij het paard aangekomen als $a\times H(n)\ge1$, met ander woorden als $H(n)\ge1000$. Als we Oresme volgen dan zien we dat $n=2^k$ zeker goed is als $\frac1k\ge999$; met andere woorden na $2^{1998}$ nachten is de slak zeker bij het paard. Hij is er waarschijnlijk al veel eerder omdat $H(2^k)$ groter is dan $1+\frac12k$, vergelijk $H(8)$ en $H(16)$ maar eens met $2\frac12$ en $3$.