Kettingbreuken

In het laatste hoofdstuk van het boek hield Euler zich bezig met zogeheten kettingbreuken. Die ontstaan als je het algoritme van Euclides (zie aan het eind) toepast op paren getallen om hun grootste gemene deler te vinden.

Zijn eerste voorbeeld was de breuk $\frac{1461}{59}$. Wat het algoritme van Euclides doet is herhaald delen, waarbij je telkens quotiënt en rest onthoud. In de eerste stap vinden we $1461=24\cdot59+45$, of $\frac{1461}{59}=24+\frac{45}{59}$. Vervolgens kijken we naar de breuk $\frac{59}{45}$, daar vinden we $\frac{59}{45}=1+\frac{14}{45}$ en dus

$$\frac{1461}{59}=24+\frac{45}{59}= 24+{1\over \displaystyle1+\frac{14}{45}}$$

In de volgende stap komt er $\frac{45}{14}=3+\frac{3}{14}$, zodat

$$\frac{1461}{59}= 24+{1\over \displaystyle1+{1\over \displaystyle3+\frac{3}{14}}}$$

Als we zo doorgaan vinden we $\frac{14}{3}=4+\frac23$, $\frac32=1+\frac12$ en $\frac 21=2+0$. Dat vullen we allemaal in:

$$\frac{1461}{59}= 24+ {1\over\displaystyle 1+{\strut1\over\d... ...playstyle 4+{\strut1\over\displaystyle 1+{\strut1\over2}}}}}$$

Zo'n samengestelde breuk wordt een kettingbreuk genoemd.

Voor gewone breuken zijn dergelijke schrijfwijzen niet zo opwindend, behalve dan dat de getallen $24$, $1$, $3$, $4$, $1$ en $2$ heel wat kleiner zijn dan $1461$ en $59$.

Voor getallen die niet als een breuk te schrijven zijn, zoals $\sqrt2$, $\pi$ en $\mathrm{e}$ kun je kettingbreuken gebruiken om heel nauwkeurige benaderingen te maken. Voor $\sqrt2$ gaf Euler de volgende uitdrukking:

$$\sqrt2=1+ {1\over\displaystyle 2+{\strut1\over\displaystyle... ...\over\displaystyle 2+{\strut1\over\displaystyle 2+\cdots}}}}$$

Opgave: Werk de eerste partiële breuken, $1$, $1+\frac12$, $1+\frac1{1+\frac12}$, ... uit en vergelijk ze met $\sqrt2$.