De tangens

Nu we toch bezig zijn kunnen we gelijk een knop voor $\tan x$ proberen te maken. We kunnen natuurlijk onder die knop gewoon het quotiënt van $\sin x$ en $\cos x$ programmeren maar we kunnen ook proberen een eenvoudige som van machten van $x$ te maken. De reden hiervoor is dat we zo het aantal rekenstappen kunnen beperken; in plaats van twee keer een som van zes machten van $x$ uit te rekenen (en op elkaar te delen) kunnen we misschien met één zo'n berekening toe. Hiertoe delen we de benaderingen van $\sin x$ en $\cos x$ (voor ons rekenmachientje in aanbouw) op elkaar.

Met enig doorzettingsvermogen levert een staartdeling de volgende benadering voor $\tan x$:

$$x + \frac13x^3 + \frac2{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \frac{62}{2835}x^9 + \frac{1382}{155925}x^{11}$$

Het verschil tussen $\tan x$ en deze benadering laat zich niet zo makkelijk afschatten als bij $\sin x$ en $\cos x$. Dat ligt aan een paar dingen, waaronder $\tan x$ zelf: op het interval $[0,\frac12\pi)$ is de benadering netjes begrensd maar de tangens heeft bij $\frac12\pi$ een verticale asymptoot. Maar ook op het interval $[0,\frac14\pi]$ is de laatste benadering niet zo goed als die van de sinus en cosinus; dat komt doordat we benaderingen op elkaar gedeeld hebben en ook nog eens een rest bij die deling weggelaten hebben. Al met al krijgen we met bovenstaande formule maar drie betrouwbare cijfers achter de komma.

Met een slimmigheidje kun je dat dramatisch verbeteren; gebruik hiervoor de verdubbelingsformule voor de tangens:

$$\tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}.$$

Dit gebruik je als volgt: begin met $x\in[0,\frac14\pi]$, benader $\tan\frac12x$, noem de benadering $t$, en gebruik dan $2t/(1-t^2)$ als benadering van $\tan x$ zelf. Dat levert gelijk zeven betrouwbare cijfers achter de komma op.