Wanneer stoppen we?

Neem eens aan dat we $\sin x$ en $\cos x$ tot op acht decimalen achter de komma willen benaderen. Welke $n$ moeten we daarbij kiezen? Als je gebruikt dat $\sin x$ en $\cos x$ periodiek zijn en als je bedenkt dat, bijvoorbeeld $\sin(\pi-x)=\sin x$ en $\cos(\frac12\pi-x)=\sin x$ dan is het duidelijk dat we ons kunnen beperken tot het interval $[0,\frac14\pi]$. Omdat $\pi<4$ geldt is elke $x$ in dat interval kleiner dan $1$. Dat betekent dat voor elke $x$ de afwijkingen zeker kleiner zijn (in absolute waarde) dan $\frac1{(2n+1)!}$ respectievelijk $\frac1{(2n+2)!}$. Als we $n$ zó groot kiezen dat die twee kleiner zijn dat $10^{-8}$ dan zitten we voor elke $x$ in $[0,\frac14\pi]$ goed.

Een beetje proberen met een rekenmachientje laat zien dat $12!>4\times 10^8$. Dat betekent dat we voor $\sin x$ moeten zorgen dat $2n+1\ge12$, ofwel $n\ge6$ en voor $\cos x$ moeten we $2n+2\ge12$ hebben, dus $n\ge5$. Dit betekent dat we de volgende formule onder de $\sin$-toets moeten programmeren:

$$x-\frac16x^3+\frac1{5!}x^5-\frac1{7!}x^7+\frac1{9!}x^9-\frac1{11!}x^{11}$$

onder de $\cos$-toets stoppen we dan een programmaatje dat

$$1-\frac12x^2+\frac1{4!}x^4-\frac1{6!}x^6+\frac1{8!}x^8-\frac1{10!}x^{10}$$

uitrekent.