De tweedeling van de hoek

Een ander voorbeeld: de constructie van een lijn die een gegeven hoek in twee gelijke hoeken deelt. De hoek wordt gegeven door twee lijnen die snijden in een punt $S$. Verder is op één van de twee lijnen een tweede punt $P$ gegeven. De constructie gaat als volgt. Teken een cirkel met als middelpunt $S$ en als straal het lijnstuk $SP$. Deze cirkel snijdt de andere lijn in $Q$. Teken vervolgens twee cirkels met middelpunten $P$ en $Q$ en straal $SP$. Deze cirkels snijden in $S$ en een ander punt dat we $T$ noemen. Dan deelt het lijnstuk $ST$ de gegeven hoek in twee gelijke hoeken.

We kunnen deze twee constructies combineren. De hoeken van een gelijkzijdige driehoek zijn $60{}^\circ$. Door deze hoek in tweeën te delen krijgen we twee hoeken van $30{}^\circ$. De verkregen hoeken kunnen we weer in tweeën delen. Zo krijgen we hoeken van $15{}^\circ$, $7\frac12{}^\circ$, enzovoort. Op deze manier zijn heel veel hoeken construeerbaar, bijvoorbeeld ook die van  $22\frac12{}^\circ$, $37\frac12{}^\circ$, $45{}^\circ$, enzovoort.