Passer en liniaal

Klaas Pieter Hart

Samenvatting:

Wat kunnen we allemaal met passer en liniaal construeren? We zullen zien dat we, uitgaande van twee punten, niet àlle punten in het platte vlak kunnen construeren. Tegelijkertijd zullen we zien dat het onmogelijk is met passer en liniaal een hoek van $60{}^\circ$ in drieën te delen.

De Griekse meetkunde werd volgens strikte spelregels bedreven. Een meetkundige constructie mocht alleen maar de volgende drie elementen bevatten.

1.  Het verbinden van twee gegeven punten door een recht lijnstuk.
2.  Het willekeurig ver doortrekken van een gegeven lijnstuk .
3.  Gegeven een punt en een lijnstuk, het trekken van een cirkel met dat punt als middelpunt en de lengte van het lijnstuk als straal.

Alleen gebruik van een passer en een liniaal zonder schaalverdeling is dus toegestaan. De liniaal gebruiken we om een lijn door twee bekende punten te tekenen. Met de passer tekenen we een cirkel met een bekend punt als middelpunt, en als straal de afstand tussen twee andere bekende punten. Op deze manier kunnen we meetkundige figuren construeren. Er is één probleem: deze regels alleen zijn niet voldoende, we moeten iets hebben om mee te beginnen. Als we met één punt beginnen, dan komen we met bovenstaande regels niet ver. We hebben minstens twee punten nodig, of een punt en een lijnstuk.