Afschatten

De uitdrukking voor $n!$ is niet eenvoudig en is ook niet echt mooier te maken. Daarom willen we onder- en bovenschattingen van $n!$ hebben waar iets makkelijker mee te rekenen valt.

Om dit te doen, gebruiken we diverse ongelijkheden. De eerste is

$$\sqrt{ab} < \mbox{$\frac12(a+b)$}; \eqno(*)$$

deze geldt voor alle positieve getallen $a$ en $b$ (behalve als $a=b$, dan geldt natuurlijk $=$).

Ga zelf na dat $(*)$ geldt door links en rechts te kwadrateren.

Gebruik $(*)$ achtereenvolgens voor $a=1$, $b=n$, dan $a=2$, $b=n-1$, enzovoorts, tot en met $a=n$, $b=1$. Telkens geldt $a+b=n+1$ en omdat

$$n!=\sqrt{1\times n}\times\sqrt{2\times(n-1)}\times\cdots\times\sqrt{n\times1}$$

volgt dan

$$n!< \left(\frac{n+1}2\right)^n \eqno(1)$$

of, in een andere veelgebruikte vorm: $\sqrt[n]{n!}<\frac12(n+1)$.

We kunnen ook een onderschatting maken door elk van de producten $k(n-k+1)$ met $n$ te vergelijken. Er geldt namelijk

$$k(n-k+1)-n=(k-1)(n-k)$$

en dat is altijd $0$ of meer, want $1\le k\le n$. Dus

$$(n!)^2={1\times n}\times{2\times(n-1)}\times\cdots\times{n\times1} \ge n^n \eqno(2)$$

en dus $n!\ge n^{\frac n2}$, ofwel $\sqrt[n]{n!}\ge \sqrt{n}$. Hieruit kunnen we concluderen dat $n!$ zo snel groeit dat zelfs zijn $n$-de machts wortel naar oneindig gaat.