Hoe groot is $n!$ ongeveer?

Klaas Pieter Hart

Abstract:

De getallen $n!$ worden heel snel heel groot. In dit artikel proberen we een schatting van de groeisnelheid van $n!$ te maken.

De getallen $n!$ (spreek uit: $n$-faculteit) komen op vele plaatsen in de wiskunde voor. Bijvoorbeeld in de kansrekening en de combinatoriek bij het tellen van rangschikkingen: je kunt $n$ dingen op $n!$ manieren op een rijtje zetten. Ook in de analyse zie je ze vaak in formules. Als je de functie $x^n$ differentieert, krijg je $nx^{n-1}$, als je nog een keer differentieert, komt er $n(n-1)x^{n-2}$; in het algemeen, als je $k$ keer differentieert, krijg je $n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)x^{n-k}$. Dat laatste kun je met de faculteitnotatie als volgt opschrijven: $\frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k}$.

Voor wie het (bijna) vergeten was: $n!$ is gedefinieerd als

$$n!=1\times2\times\cdots\times n,$$

dus $1!=1$, $2!=2$, $3!=6$, $4!=24$, $5!=120$, enzovoorts. Deze rij stijgt heel snel; $10!=3\,628\,800$ is al meer dan het aantal seconden in duizend uur.

De meeste rekenmachientjes geven het op bij $70$; de TI-83 bijvoorbeeld geeft ERR:OVERFLOW als je $70!$ uit laat rekenen. De verklaring hiervoor is dat $69!\approx1.711225\times10^{98}$ en $70!\approx1.197857\times10^{100}$ -- de displays hebben meestal maar twee posities voor de macht van $10$.