Subtielere afschattingen

We kunnen $(1)$ en $(2)$ aanzienlijk verbeteren door met integralen te werken. Hiertoe nemen we de natuurlijke logaritme van $n!$:

$$\ln n!=\ln 1+\ln 2+\cdots+\ln n.$$

Deze som kunnen we vergelijken met een integraal van $\ln x$. In figuur 1 is te zien dat $\ln 6!>\int_1^6\ln x\,\mbox{d}x$.

Figuur: 1

In figuur 2 is te zien dat $\ln 5!<\int_1^6\ln x\,\mbox{d}x$.

Figuur: 2

In het algemeen krijgen we

$$\ln (n-1)!<\int_1^n\ln x\,\mbox{d}x<\ln n!.$$

Nu moeten we de integraal nog uitrekenen. Daarvoor moeten we een primitieve van $\ln x$ maken. Met een beetje proberen kun je uitvlooien dat $x\ln x-x$ een primitieve is (differentieer het om dat te controleren). De integraal wordt dus

$$\int_1^n\ln x\,\mbox{d}x=(n\ln n-n)-(1\ln 1-1) =n\ln n -(n-1) =n(\ln n -1)+1.$$

Dit kunnen we omwerken tot $n\ln\frac{n}{\mbox{{\small e}}} +1$, ofwel $\ln\bigl((\frac{n}{\mbox{{\small e}}})^n \mbox{e} \bigr)$. Conclusie:

$$(n-1)!<\left(\frac{n}{\mbox{e}}\right)^n\mbox{e}<n!.\eqno(3)$$

Hiermee vinden we

$$\left(\frac{n}{\mbox{e}}\right)^n \mbox{e} <n!<\left(\frac{n}{\mbox{e}}\right)^n \mbox{e} n \eqno(4)$$

(vermenigvuldig de linker ongelijkheid in $(3)$ met $n$).

Hiermee krijgen we zeer nauwkeurige grenzen voor $\sqrt[n]{n}$:

$$\frac{n}{\mbox{e}}\sqrt[n]{\mbox{e}}<\sqrt[n]{n!}<\frac{n}{\mbox{e}}\sqrt[n]{\mbox{e}n}. \eqno(5)$$

In het vorige nummer van Pythagoras hebben we gezien dat $\sqrt[n]{n}$ naar $1$ daalt (en $\sqrt[n]{\mbox{e}}$ dus ook); daarmee zien we dat $\sqrt[n]{n!}$ ongeveer net zo snel groeit als $\frac{n}{\mbox{{\small e}}}$.