De formule van Stirling

Hoe zit het nu met $n!$ zelf? Formule $(4)$ zegt dat $n!$ wel iets met $(\frac{n}{\mbox{{\small e}}})^n$ te maken heeft, maar dat er nog wel wat ruimte over is, tussen $\mbox{e}$ en $\mbox{e}n$ wel te verstaan. Met (veel) meer werk dan hierboven is daar een heleboel over te zeggen: als we $(\frac{n}{\mbox{{\small e}}})^n$ met $\sqrt{2\pi n}$ vermenigvuldigen, zitten we heel erg goed. Er geldt namelijk

$$n!\sim \left(\frac{n}{\mbox{e}}\right)^n\sqrt{2\pi n},\eqno(6)$$

hiermee bedoelen we dat het quotiënt van de twee uitdrukkingen naar $1$ convergeert. Formule $(6)$ staan bekend als de formule van Stirling en hij verklaart ook een beetje waarom het getal $\pi$ zo vaak in de kansrekening opduikt.

Meer over Stirlings formule kun je lezen op http://mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html.