Euler's weg naar de e-macht

Eerder in het boek had Euler de formule voor $\mathrm{e}^z$, die Newton ook al had ontdekt, op een geheel andere manier gemaakt. Hij deed dat op de manier van die tijd, door de $z$ met oneindig kleine stapjes te laten variëren. Het idee daarbij was dat bij zo'n oneindig kleine verandering de raaklijn aan de grafiek niet te onderscheiden is van de grafiek zelf. De helling van die raaklijn was dan de waarde van de afgeleide; we vinden dit nog terug in de $\mathrm{dd}y/\mathrm{dd}x$-notatie voor de afgeleide.

Met Euler nemen we een getal $a$, groter dan $1$, en de bijbehorende functie $z\mapsto a^z$. We blijven in de buurt van $0$ en vullen een `oneindig klein getal' $\omega$ in en krijgen dan $a^\omega=1+k\omega$, waarbij $k$ de helling van de raaklijn aan de grafiek in het punt $(0,1)$ is.

Euler ging vervolgens machtsverheffen: uit $a^\omega=1+k\omega$ volgt $a^{i\omega}=(1+k\omega)^i$ voor elke $i$. Als je de rechterkant uitvermenigvuldigt komt er

$$a^{i\omega}= 1+\frac i1k\omega+\frac{i(i-1)}{1\cdot2}k^2\omega^2+ \frac{i(i-1)(i-2)}{1\cdot2\cdot3}k^3\omega^3+\cdots$$

Vervolgens nam Euler een `oneindig groot getal' $i$ en wel zo dat $z=i\omega$ een gewoon `eindig getal' is; daarna vulde hij $\omega=\frac zi$ in:

$$a^z= 1+\frac 11kz+\frac{1(i-1)}{1\cdot2i}k^2z^2+ \frac{1(i-1)(i-2)}{1\cdot2i\cdot3i}k^3z^3+\cdots$$

Maar, zei Euler, omdat $i$ oneindig groot is volgt dat $\frac{i-1}i=1$, $\frac{i-2}i=1$ enzovoort en dus krijgen we

$$a^z= 1+\frac{kz}1+\frac{k^2z^2}{1\cdot2}+ \frac{k^3z^3}{1\cdot2\cdot3}+\frac{k^4z^4}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\cdots$$

en als we hier $z=1$ nemen dan zien we duidelijk de relatie tussen $a$ en $k$:

$$a= 1+\frac{k}1+\frac{k^2}{1\cdot2}+ \frac{k^3}{1\cdot2\cdot3}+\frac{k^4}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\cdots$$