Het getal e

De $a$ die bij $k=1$ hoort neemt natuurlijk een speciale plaats in. Die is gelijk aan

$$1+\frac{1}1+\frac{1}{1\cdot2}+ \frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\cdots$$

Als we de breuken uitwerken en optellen, zei Euler, dan krijgen we

$$a=2{,}71828182845904523536028,$$

waarbij het laatste cijfer echt klopt.

Op dit punt voerde Euler de letter in die wij nu nog voor dit getal gebruiken: ``het getal dat bij $k=1$ hoort duiden we in het vervolg kortweg met de letter $\mathrm{e}$ aan''. Dus

$$\mathrm{e}=1+\frac{1}1+\frac{1}{1\cdot2}+ \frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\cdots$$

Hiermee hebben we ook, langs een nieuwe weg, de formule voor $\mathrm{e}^z$ ontdekt die we in het vorige nummer op de manier van Newton hadden gevonden:

$$\mathrm{e}^z= 1+\frac{z}1+\frac{z^2}{1\cdot2}+ \frac{z^3}{1\cdot2\cdot3}+\frac{z^4}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\cdots$$