Verder integreren

We kunnen ons proces voortzetten en om en om steeds betere benaderingen van $\sin x$ en $\cos x$ maken; als we de laatste ongelijkheden voor $\cos x$ integreren vinden we

$$x-\frac16x^3<\sin x<x-\frac16x^3+\frac1{120}x^5$$

Als we dit weer voor $\cos x$ kunnen we de linkerkant van $(*)$ verbeteren tot

$$1-\frac12x^2+\frac1{24}x^4-\frac1{720}x^6<\cos x.$$

Opgave. Voor welke $x$ zou je nu de benaderingen $\sin x\approx x-\frac16x^3$ en $\cos x\approx 1-\frac12x^2+\frac1{24}x^4$ gebruiken?

Als we doorgaan met integreren vinden we rijen benaderingen voor $\sin x$ en $\cos x$; ga zelf zorgvuldig na dat de volgende formules ontstaan

$$\sin x\approx x-\frac16x^3+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n-1)!}x^{2n-1}$$

met afwijking kleiner dan $\frac1{(2n+1)!}x^{2n+1}$ en

$$\cos x\approx 1-\frac12x^2+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$$

met afwijking kleiner dan $\frac1{(2n+2)!}x^{2n+2}$.