Een touwtje om de aarde

Klaas Pieter Hart

Abstract:

We spannen een touw om de aarde, maken het een beetje langer en proberen het weer strak te trekken. Hoe hoog komt het dan te hangen?

Vrijwel iedereen kent het volgende probleem wel. We spannen een (niet rekbaar) touw om de aarde, zeg over de polen langs de nulmeridiaan (en de $180$-meridiaan natuurlijk). Aan de Noordpool knippen we het touw open en voegen een stuk van één meter lang in. Als we het touw overal even hoog optillen hoe hoog komt het dan boven de aarde te hangen?

Het antwoord, ongeveer $16\,\mathrm {cm}$, verbaast de meeste mensen, tot je het netjes voorrekent. Oorspronkelijk is het touw $2\pi R$ lang, waarin $R$ de straal van de aarde (in meters) is. Waar we naar vragen is de straal van de cirkel waarvan de omtrek één meter langer is, met andere woorden: bepaal $R'$ zó dat $2\pi R'=2\pi R+1$. Dat is heel makkelijk: $R'=R+\frac1{2\pi}\approx R+0{,}159$.

De berekening laat zien dat de waarde van $R$ niet belangrijk is: als de omtrek van een cirkel één meter langer wordt gemaakt wordt de straal bijna $16\,\mathrm {cm}$ langer.