Een snelle benadering

De hoek $\alpha$ die hierboven gevonden is is behoorlijk klein. In dat geval kan $\tan\alpha$ goed benaderd worden met $\alpha+\frac13\alpha^3$ (zie stukje over $\cos x$ en $\sin x$ in de vorige Pythagoras), zodat $(\dag )$ verandert in een bijna-gelijkheid:

$$\frac13\alpha^3\approx\frac{\varepsilon }R.$$

De breuk $\frac{d+\varepsilon }R$ is ook heel klein en voor heel kleine $x$ geldt $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac12x$; daarmee kunnen we $(*)$ omwerken tot

$$h\approx \frac12R\left(\frac{d+\varepsilon }R\right)^2 \approx\frac12R\left(\alpha+\frac13\alpha^3\right)^2$$

Als we het kwadraat uitwerken komt er

$$h\approx\frac12R\left(\alpha^2+\frac23\alpha^4+\frac19\alpha^6\right)$$

Als we de getallen weer invullen krijgen we $R\alpha^2=242{,}8$, $R\alpha^4=0{,}009$ en $R\alpha^6=3{,}5\times10^{-7}$. Dit betekent dat we de vierde en zesde machten wel weg kunnen laten en de volgende benadering van $h$ gebruiken:

$$h\approx\frac12R\alpha^2$$

Als we verder nog bedenken dat $\alpha\approx\sqrt[3]{\frac{3\varepsilon }R}$ dan komen we tot de volgende uitdrukking voor $h$:

$$h\approx \frac12\sqrt[3]{9R\varepsilon ^2}$$

Als we dan ook nog de waarde van $R$ invoeren houden uiteindelijk de volgende benadering over

$$h\approx50\sqrt[3]{\frac{360\varepsilon ^2}{2\pi}}. \eqno(\ddag )$$

Dit geeft niet echt een ander antwoord dan de berekening in het begin: als we $\varepsilon =0{,}5$ invullen komen we via $(\ddag )$ ook uit op $h\approx121{,4}\,\mathrm {m}$.

Opgave Vul $\varepsilon =0{,}005$ in. Hoe groot is het verschil ten opzichte van het antwoord op de vorige opgave?

Opgave Onderzoek hoe goed de benadering $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac12x$ is. Vergelijk bijvoorbeeld $(1+\frac12x)^2$ met $1+x$; voor welke $x$ is het verschil klein genoeg om weg te laten? Was in ons voorbeeld de benadering gerechtvaardigd?