Gebroken exponenten

Wat te doen met $2^q$ als $q$ een rationaal getal is, dat wil zeggen te schrijven als $\frac tn$ met gehele getallen $t$ en $n$? Als $q=\frac12$ dan dicteert de eigenschap via $2^{\frac12}\times 2^{\frac12}=2^1=2$ dat $2^{\frac12}=\sqrt2$. Evenzo moet $2^{\frac13}$ wel $\sqrt[3]2$ zijn, $2^{\frac14}=\sqrt[4]2$, enzovoort. Voor andere breuken $\frac tn$ vinden we tenslotte $2^{\frac tn}=\bigl(\sqrt[n]2\bigr)^t$.

Opgave. Eeen rationaal getal kan op meer dan één manier als breuk geschreven worden, bijvoorbeeld $\frac12=\frac24=\frac36$. De waarden $2^{\frac12}$, $2^{\frac24}$ en $2^{\frac36}$ zijn echter allemaal apart afgesproken. Toon aan dat toch geldt $2^{\frac12}=2^{\frac24}=2^{\frac36}$.

Opgave. Toon aan dat, in het algemeen, als $\frac tn=\frac kl$ dan $\bigl(\sqrt[n]2\bigr)^t= \bigl(\sqrt[l]2\bigr)^k$.

Opgave. Toon aan: als $p$ en $q$ twee rationale getallen zijn dan geldt $2^p\times2^q=2^{p+q}$.