Andere exponenten

We weten nu al wat $2^q$ is voor alle rationale getallen $q$; hoe zit het nu met $2^{\sqrt3}$? Omdat $\sqrt3$ niet als een breuk te schrijven is moeten we voor die macht echt iets nieuws verzinnen.

We laten de algebra even liggen en proberen de volgende eigenschap van $q\mapsto 2^q$ in stand te houden: als $p<q$ dan geldt $2^p<2^q$; we zeggen dat machtsverheffen monotoon is.

Die monotonie volgt uit de opteleigenschap: er geldt $q=p+(q-p)$ en dus $2^q=2^p\cdot 2^{q-p}$. Omdat $2^{q-p}>1$ volgt nu $2^q>2^p$.

Opgave. Toon aan dat inderdaad $2^r>1$ als $r$ een positief rationaal getal is.

De bedoeling is nu te zorgen dat de functie $x\mapsto 2^x$ monotoon wordt. Voor $\sqrt3$ betekent dit dat we twee dingen moeten eisen: als $p<\sqrt3$ dan moet $2^p<2^{\sqrt3}$ en als $\sqrt3<q$ dan moet $2^{\sqrt3}<2^q$. De vraag is dus of er een getal is dat aan die eisen voldoet, of nog liever: één zo'n getal, want dan hoeven we niet meer te kiezen: we spreken af dat dat ene getal dan de waarde van $2^{\sqrt3}$ is.