De ongelijkheid

De ongelijkheid $2^r<1+r$ voor rationale getallen $r$ in het interval $(0,1)$ volgt regelrecht uit een ongelijkheid die al eerder in Pythagoras aan bod is geweest: de Ongelijkheid van Rekenkundig en Meetkundig gemiddelde: als $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ een $n$-tal positieve getallen is dan geldt

$$\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\le\frac1n(x_1+\cdots+x_n).$$

Neem nu natuurlijke getallen $k$ en $n$ met $1\le k<n$ en pas bovenstaande toe met $x_1=\cdots =x_k=2$ en $x_{k+1}=\cdots=x_n=1$; er komt $\sqrt[n]{2^k}\le\frac1n(n+k)$, ofwel $2^{\frac kn}\le1+\frac kn$.