De ongelijkheid $\mathopen \vert 2^x-2^a\mathclose \vert<2^n\mathopen \vert x-a\mathclose \vert$

In het januarinummer is aangetoond dat $\vert 2^r-1\vert<\vert r\vert$ als $\vert r\vert<1$; met behulp hiervan bewijzen we de ongelijkheid hierboven.

We hebben ons getal $a$ en gehele getallen $m$ en $n$ zó dat $m<a<n$ (met $m$ zo groot mogelijk en $n$ zo klein mogelijk). Als nu $x$ tussen $m$ en $n$ ligt dan geldt $\vert x-a\vert<1$ en dus

$$2^x-2^a=2^a(2^{x-a}-1)<2^n(x-a)$$

als $a<x$ en

$$2^a-2^x=2^x(2^{a-x}-1)<2^n(a-x)$$

als $x<a$; samengevat:

$$\vert 2^x-2^a\vert\le 2^n\vert x-a\vert$$

als $m<a<n$.