Logaritmen voor gevorderden

Klaas Pieter Hart

Jaargang 45, April 2006

Abstract:

In het januarinummer van Pythagoras hebben we de functie $x\mapsto 2^x$ netjes gedefinieerd. In dit artikel kijken we naar de inverse functie: de logaritme.

De functie $x\mapsto 2^x$, zoals we die in het januarinummer hebben gedefinieerd, heeft alle eigenschappen die we van een exponentiële functie mogen verwachten. De functie is strikt stijgend en voor alle $x$ en $y$ geldt $2^{x+y}=2^x\cdot2^y$. In dit artikel laten we zien dat onze functie een inverse functie heeft, de logaritme in basis $2$. Die functie noteren we als ${}^2\!\log$ en per definitie betekenen

$$a={}^2\!\log b\hbox{\qquad en\qquad }2^a=b$$

precies hetzelfde. Bij het bepalen van een inverse functie verwisselen we domein en bereik: het bereik/domein van $x\mapsto 2^x$ wordt het domein/bereik van $x\mapsto{}^2\!\log x$. Het domein van $x\mapsto 2^x$ kennen we, dat is $\R$. Het bereik kennen we nog niet; we weten dat de waarden in het interval $(0,\infty)$ zitten maar wat we wilen, namelijk dat $(0,\infty)$ het domein van de logaritme is, moeten we wel netjes vaststellen en dat doen we door te bewijzen dat het bereik van $x\mapsto 2^x$ precies het interval $(0,\infty)$ is.

Dus bij gegeven $b>0$ moeten we een $a$ maken met $2^a=b$ (en omdat $x\mapsto 2^x$ strikt stijgend is is er precies één zo'n $a$). Dit bewijzen we met behulp van de nu al vertrouwde eigenschap van $\R$: de volledigheid.