Gebruik van logaritmen

Logaritmen werden door de Schot John Napier (1550-1617) bedacht om er snel grote vermenigvuldigingen mee uit te kunnen voeren. Dat gebeurde op basis van de eigenschap $10^x\cdot10^y=10^{x+y}$. Men werkte met het grondtal $10$ omdat dat beter bij ons tientallig stelsel past; in plaats van ${}^{10}\!\log$ schrijven we daarom nog steeds $\log$. Om, bijvoorbeeld, $313{,}585\times204{,}123$ te berekenen ging men als volgt te werk.

Stap 1. zoek $\log313{,}585$ en $\log204{,}123$ op in een tabel. Tabellen geven alleen logaritmen van getallen tussen $1$ en $10$; dat is niet erg want $313{,}585=3{,}13585\times10^2$ en dus $\log313{,}585=2+\log3{,}13585$. Met behulp van mijn tabel heb ik gevonden dat $\log313{,}585=2{,}4963$ en $\log204{,}123=2{,}3071$ (ongeveer).

Stap 2. Tel de logaritmen bij elkaar op: $2{,}4963+2{,}3071=4{,}8034$; dit is de logaritme van ons product.

Stap 3. Zoek in de tabel de $x$ op met $\log x=0{,}8034$ (ongeveer): $x=6{,}359$ en dus $313{,}585\times204{,}123=6{,}359\times10^4$ (ongeveer).

Tegenwoordig doen we zo'n vermenigvuldiging op een rekenmachientje maar dan lopen we soms tegen de beperkingen van het apparaat aan. Mijn rekenmachine kan, bijvoorbeeld, $70!$ niet weergeven: bij $69!$ krijg ik nog $1{,}711224524\times10^{98}$ maar bij $70!$ krijg ik Error. Met de logaritmetoets is dat zo verholpen: $\log1{,}711224524=0.233307995$ en $\log70=1{,}84509804$. De som is $2{,}078405035$ en $10^{0{,}078405035}=1{,}197857167$. De $2$ levert nog $10^2$ en dus $70!$ is ongeveer $1{,}197857167\times10^{100}$.

Opgave. Bepaal, met behulp van de $\log$- en $10^x$-toetsen, een benadering van $100!$; hoeveel cijfers heeft $100!$?