De tussenwaardestelling

Kunnen we uit het bovenstaande verhaal een algemene stelling distilleren? Dat kan zeker en die stelling werd in 1817 geformuleerd en bewezen door de Tsjechische wiskundige Bernard Bolzano in een artikel met de volgende welluidende titel: ``Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege''.

Hier volgt de stelling, in de formulering van Bolzano zelf.

Lehrsatz. Wenn sich zwey Functionen von $x$, $f(x)$ und $\varphi(x)$, entweder für alle Werthe von $x$, oder doch für alle, die zwischen $\alpha$ und $\beta$ liegen, nach dem Gesetze der Stetigkeit ändern, wenn ferner $f(\alpha)<\varphi(\alpha)$, und $f(\beta)>\varphi(\beta)$ ist: so gibt es jedesmahl einen gewissen zwischen $\alpha$ und $\beta$ liegenden Werth von $x$, für welchen $f(x)=\varphi(x)$ wird.

In het Nederlands vertaald: als twee functies $f$ en $\varphi$ continu zijn op een interval $[\alpha,\beta]$ en als bovendien geldt dat $f(\alpha)<\varphi(\alpha)$ en $f(\beta)>\varphi(\beta)$ dan heeft de vergelijking $f(x)=\varphi(x)$ tenminste één oplossing tussen $\alpha$ en $\beta$.

Hierin is nog één ding ongedefinieerd: wat betekent het dat een functie continu is? Daarvan gaf Bolzano, waarschijnlijk als eerste, een nette definitie.

Nach einer richtigen Erklärung versteht man unter der Redensart, das eine Function $f(x)$ für alle Werthe von $x$ die inner- oder außerhalb gewisser Grenzen liegen, nach dem Gesetze der Stetigkeit sich ändre, nur so viel, daß, wenn $x$ irgend ein solcher Werth ist, der Unterschied $f(x+\omega)-f(x)$ kleiner als jede gegebene Größe gemacht werden könne, wenn man $\omega$ so klein als man nur immer will, annehemen kan.

In (losse) vertaling: men zegt dat een functie $f(x)$ zich voor alle waarden van $x$ volgens de wet der continuïteit gedraagt indien voor iedere $x$ het verschil $f(x+\omega)-f(x)$ kleiner dan een gegeven grootheid kan worden gemaakt door $\omega$ maar klein genoeg te nemen.

In een wat exactere formulering, die afkomstig is van Weierstraß: bij iedere gegeven grootheid $\varepsilon$ bestaat een andere grootheid $\delta$ zó dat telkens als $\vert y-x\vert<\delta$ dan is $\vert f(y)-f(x)\vert<\varepsilon$.

In ons geval hadden we in feite $f(x)=x$ en $\varphi(x)=\cos x$, en de grenzen van het interval zijn $\alpha=0$ en $\beta=1$.

De functies $f$ en $\varphi$ zijn ook inderdaad continu: in beide gevallen kunnen we bij de gegeven grootheid $\varepsilon$ gewoon $\delta=\varepsilon$ nemen. Immers, we hebben laten zien dat altijd $\vert\cos y-\cos x\vert\le\vert y-x\vert$, dus als $\vert y-x\vert<\varepsilon$ dan ook $\vert\cos y-\cos x\vert<\varepsilon$.

Bewijzen dat een functie continu is, is niet altijd makkelijk, zoals we bij $\cos x$ al gezien hebben: we hadden een gonio-formule nodig en een afschatting van $\vert\sin y\vert$. Laten we eens proberen aan te tonen dat de functie $g$ gedefinieerd door $g(x)=x^2$ continu is. Neem een $x$ vast en een grootheid $\varepsilon$. Hoe vinden we nu een passende grootheid $\delta$?

Welnu, eerst bekijken we maar eens wat we met $\vert y^2-x^2\vert$ kunnen doen. We kunnen in ieder geval ontbinden:

$$\vert y^2-x^2\vert=\vert y+x\vert\vert y-x\vert$$

Daar staat al $\vert x-y\vert$ maar met nog een variabele factor $\vert x+y\vert$ er bij. De $\delta$ die we zoeken mag best heel klein zijn, we beperken ons daarom eerste maar eens tot het interval $[x-1.x+1]$. Als $y$ uit dat interval komt geldt dat $\vert x+y\vert$ nooit groter is dan het maximum van $2\vert x+1\vert$ en $2\vert x-1\vert$; noem dat maximum maar even $M$, dan concluderen we dat voor $y$ in het interval $[x-1,x+1]$ altijd geldt $\vert y^2-x^2\vert\le M\vert y-x\vert$. Nu weten we hoe $\delta$ te kiezen: het minimum van $1$ en $\varepsilon/M$! Want dan geldt: als $\vert y-x\vert<\delta$ dan zeker $\vert y^2-x^2\vert\le M\vert y-x\vert$ (omdat $\vert y-x\vert<1$) en $M\vert y-x\vert<\varepsilon$ (omdat $\vert y-x\vert<\varepsilon/M$). Conclusie: $g(x)=x^2$ gedraagt zich volgens de wet der continuïteit.

Neem nu ook nog $\psi(x)=2$ (constante functie) en $\alpha=0$ en $\beta=2$; dan geldt $g(0)<\psi(0)$ en $g(2)>\psi(2)$. Er is dus een oplossing van de vergelijking $g(x)=\psi(x)$ tussen $0$ en $2$. Dus de stelling van Bolzano geeft ons het bestaan van $\sqrt2$.