De tussenwaardestelling

Klaas Pieter Hart

Februari, 2007

Abstract:

De volledigheid van $\R$ is de sleutel tot een heleboel stellingen uit de Analyse. Zo kun je hem gebruiken om te bewijzen dat veel vergelijkingen een oplossing hebben.

De volgende eigenschap van de getallenlijn hebben we al twee keer gebruikt om iets over de re"ele getallen te bewijzen. We hebben het bestaan van alle $n$-demachtswortels bewezen en we hebben $2^x$ voor alle getallen $x$ gedefinieerd.

De getallenlijn is volledig. Elke niet-lege verzameling getallen met een bovengrens heeft ook een kleinste bovengrens.

Dat wil zeggen: als $A$ een deelverzameling van $\R$ is waarvoor een $x$ bestaat zó dat $a\le x$ voor alle $a\in A$ ($x$ is een bovengrens) dan is er een bovengrens $a^*$ voor $A$ die kleiner is dan alle andere bovengrenzen.