Waarom `Tussenwaardestelling'?

Tegenwoordig zul je de Tussenwaardestelling in een wat andere formulering in de boeken tegenkomen.

Tussenwaardestelling. Als $f$ een continue functie is op een interval $[\alpha,\beta]$ dan neemt $f$ op dat interval elke waarde tussen $f(\alpha)$ en $f(\beta)$ aan.

Hierin maakt het niet uit of $f(\alpha)>f(\beta)$ dan wel $f(\alpha)<f(\beta)$; bij elk getal $c$ tussen die twee waarden is er een $a$ in het interval $(\alpha,\beta)$ met $f(a)=c$.

Deze versie volgt meteen uit die van Bolzano: vergelijk $f$ maar met de constante functie die overal de waarde $c$ aanneemt.

Het omgekeerde geldt ook: de versie van Bolzano volgt uit de nieuwe: werk met $g=f-\varphi$; dan geldt $g(\alpha)<0$ en $g(\beta)>0$, dus $0$ ligt tussen $g(\alpha)$ en $g(\beta)$. Er is dus een $a$ tussen $\alpha$ en $\beta$ met $g(a)=0$, voor die $a$ geldt natuurlijk $f(a)=\phi(a)$.