Ten minste één

We gaan bewijzen dat er een getal $x$ is met de eigenschap dat $2^p<x<2^q$ voor alle rationale getallen met $p<\sqrt3<q$.

Dat doen we met behulp van de fundamentele eigenschap van de verzameling van alle reële getallen die in het septembernummer van Pythagoras al gebruikt is om voor elke $n$ het bestaan van $\sqrt[n]2$ aan te tonen.

De getallenlijn is volledig Elke niet-lege verzameling getallen met een bovengrens heeft ook een kleinste bovengrens

Dat wil zeggen: als $A$ een deelverzameling van $\mathbb{R}$ is waarvoor een $x$ bestaat zó dat $a\le x$ voor alle $a\in A$ ($x$ is een bovengrens) dan is er een bovengrens $\alpha^*$ voor $A$ die kleiner is dan alle andere bovengrenzen.

Dit passen we toe op we verzameling $A=\{2^p:p<\sqrt3\}$ -- deze heeft $2^2=4$ als bovengrens. In $\mathbb{R}$ bestaat dus bovengrens $\alpha$ kleiner dan of gelijk aan alle bovengrenzen van $A$. Voor deze $\alpha$ geldt dus $2^p\le\alpha$ als $p<\sqrt3$, want $\alpha$ is een bovengrens van $A$; ook geldt $\alpha\le2^q$ als $\sqrt3<q$ want dat geval is $2^q$ een bovengrens van $A$ (en $\alpha$ is de kleinste bovengrens).

Om de $\le$ te verbeteren tot $<$ (want dat willen we), gebruiken we een belangrijke eigenschap van $\mathbb{R}$: tussen elk tweetal reële getallen ligt een rationaal getal; dat bewijzen we in paragraaf 8. We gebruiken die eigenschap als volgt: als $p<\sqrt3$ dan is er een rationaal getal $r$ met $p<r<\sqrt3$. Voor die $r$ geldt $2^p<2^r$ en $2^r\le\alpha$, en dus volgt $2^p<\alpha$. Op precies dezelfde manier volgt dat $\alpha<2^q$ als $\sqrt3<q$.