Eigenschappen van $2^x$

Op precies dezelfde manier als voor $\sqrt3$ kunnen we $2^x$ afspreken voor elk reëel getal dat niet als een breuk te schrijven is: $2^x$ is het unieke getal $y$ met de eigenschap dat $2^p<y<2^q$ voor alle rationale getallen $p$ en $q$ met $p<x<q$.

De zo verkregen functie heeft alle eigenschappen die we van een exponentiële functie verwachten.

Opgave. Voor alle reële getallen $x$ en $y$ geldt $2^x\times2^y=2^{x+y}$.

We kunnen ook bewijzen dat $2^x<2^y$ als $x<y$ (tot nu toe wisten we we dat alleen als één van de twee getallen een rationaal getal is). Met behulp van de eigenschap uit inzet 1 vinden we een rationaal getal $p$ met $x<p<y$. Dan volgt $2^x<2^p<2^y$.